Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 45°. верно ли, что основание треугольника больше 1/2 (рис 18.42)? Решение по теооеме неравенств…
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 45°. верно ли, что основание треугольника больше 1/2 (рис 18.42)? Решение по теооеме неравенств треугольников для 7 класса
Задача: боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, угол между ними 45°. Верно ли, что основание треугольника больше 1/2?
Решение по теореме косинусов (для 7 класса):
Обозначим вершины треугольника A (вершина на котором даны равные стороны), B и C — основания. Пусть AB = AC = 1, угол ∠BAC = 45°, основание BC обозначим как c.
По теореме косинусов для стороны BC: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2·AB·AC·cos∠BAC.
Подставим известные значения: BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2·1·1·cos 45° = 2 - 2·cos 45°. Так как cos 45° = √2/2, получаем: BC^2 = 2 - √2.
Следовательно, основание равно BC = sqrt(2 - √2).
Нужно проверить, что BC > 1/2. Поскольку BC > 0, можно сравнить квадраты: BC > 1/2 эквивалентно BC^2 > 1/4. Но BC^2 = 2 - √2. Проверяем неравенство: 2 - √2 > 1/4. Это эквивалентно 7/4 > √2. Поскольку (7/4)^2 = 49/16 > 2 = (√2)^2, неравенство верно. Значит BC^2 > 1/4, а значит BC > 1/2.
Также можно привести численный пример: BC = sqrt(2 - √2) ≈ sqrt(0.5858) ≈ 0.765, что больше 0.5.
Ответ: да, основание больше 1/2. Более точно основание BC равно sqrt(2 - √2) ≈ 0.765.
