На прямоугольный стол с размерами а на в не глядя бросают мягкую круглую подставку. Найдите вероятность что подставка полностью будет лежать на столе
Решение задачи (для общего случая, без указания предмета и класса)
Дано:
- прямоугольник со сторонами a и b;
- круглая подставка радиуса r (диаметр d = 2r).
Условия: подставка падает на стол случайно, центр подставки попадает в произвольную точку на поверхности стола с равной вероятностью. Нужно найти вероятность полного попадания подставки на стол.
Шаги решения:
Чтобы подставка лежала полностью на столе, центр круга должен быть на расстоянии не менее r от каждой стороны стола. Следовательно, центр должен находиться внутри внутреннего прямоугольника размеров (a − 2r) на (b − 2r).
Площадь области допустимого размещения центра:
- A_allowed = (a − 2r)(b − 2r), если a > 2r и b > 2r.
- иначе A_allowed = 0 (если хотя бы одно измерение ≤ 2r, круг не поместится целиком нигде на столе).
Область возможного размещения центра при случайном падении (при условии равномерной вероятности по всей площади стола): A_total = ab.
Вероятность того, что подставка окажется полностью на столе: P = A_allowed / A_total = ((a − 2r)(b − 2r)) / (ab), при a > 2r и b > 2r; иначе P = 0.
Удобная форма без явного радиуса: Если известен диаметр подставки d = 2r, то P = ((a − d)(b − d)) / (ab), при a > d и b > d; иначе P = 0.
Пример: Пусть a = 4, b = 3, диаметр подставки d = 1 (то есть r = 0.5). P = ((4 − 1)(3 − 1)) / (4 · 3) = (3 · 2) / 12 = 6/12 = 0.5.
Важно:
- Если a ≤ 2r или b ≤ 2r, вероятность равна 0.
- Этот вывод основан на предположении, что центр круга распределёнuniformly по площади стола.
