Дан куб все рёбра которого равны 1. Найди угол между плоскостями ABC и CA 1 ​ D. Ответ дай в градусах.

Дано куб с ребром 1. Пусть A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(H) = (0,1,1). Тогда:

• плоскость ABC — это плоскость z = 0 (нижняя грань);
• плоскость CAD проходит через точки A(0,0,0), C(1,1,0) и D(0,1,1).

1. Найдём нормали к плоскостям.

• Плоскость ABC: нормаль n1 = (0, 0, 1).
• В плоскости CAD возьмём два вектора: AC = C − A = (1, 1, 0), AD = D − A = (0, 1, 1). Векторный продольный нормаль n2 = AC × AD. AC × AD = (1,1,0) × (0,1,1) = (1, -1, 1).

2. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями (модуль угла между векторами): cos θ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|).

n1 · n2 = (0,0,1) · (1,-1,1) = 1, |n1| = 1, |n2| = √(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = √3.

Тогда cos θ = 1 / √3, и θ = arccos(1/√3) ≈ 54.7356°.

Ответ: приблизительно 54.74°. (Точное значение: arccos(1/√3) градусов.)