Определите количество 13-ричных семизначных чисел, в записи которых не менее двух цифр 5 и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.

Задача означает считать 7-значные числа в системе с основанием 13, такие что в их записи чередуются чётные и нечётные цифры (никогда не стоят рядом две чётные или две нечётные), и при этом в записи встречается цифра 5 хотя бы два раза. 1) Основы - В основание 13 цифры: 0,1,2,...,12. Четных цифр: E = {0,2,4,6,8,10,12} (7 цифр). Нечётных: O = {1,3,5,7,9,11} (6 цифр). Цифра 5 относится к O. - Первая цифра не может быть нулём. - Условие чередования паритетов даёт две возможные схемы размещения чётных/нечётных: A) E O E O E O E B) O E O E O E O 2) Подсчёт по схемам Обозначим N_A и N_B как количество чисел по схемам A и B соответственно. Для схемы A (первых букв E, далее чередование, позиции 1,3,5,7 — чётные; 2,4,6 — нечётные): - Число вариантов для первых позиций: pos1 (чётная, не 0) — 6 вариантов; остальные чётные позиции (3,5,7) — по 7 вариантов; нечётные позиции (2,4,6) — по 6 вариантов. - Тогда N_A = 6^4 · 7^3 = 444 528. Чтобы учесть условие о наличии хотя бы одного 5: - Нулей 5: на нечётных позициях (2,4,6) нельзя ставить 5, значит для них по 5 вариантов (из O без 5); для чётных позиций как выше. Z_A = 6 · 5^3 · 7^3 = 257 250. - Точно один 5: выбираем место из трёх нечётных позиций для 5 (3 варианта); на остальных двум нечётным — по 5 вариантов; чётные позиции — 6 · 7^3 вариантов. N1_A = 3 · 5^2 · 6 · 7^3 = 154 350. - Чисел с не менее чем двумя 5: N_ge2_A = N_A − Z_A − N1_A = 444 528 − 257 250 − 154 350 = 32 928. Для схемы B (первых позиций O, затем чередование, позиции 1,3,5,7 — нечётные; 2,4,6 — чётные): - N_B = 6^4 · 7^3 = 444 528 (та же величина). - Нулей 5: на всех четырёх нечётных позициях по 5 вариантов (O без 5); чётные позиции по 7 вариантов. Z_B = 5^4 · 7^3 = 214 375. - Точно один 5: выбираем место для 5 среди 4 нечётных позиций (4 варианта); на остальных трёх нечётных по 5 вариантов; чётные позиции по 7^3. N1_B = 4 · 5^3 · 7^3 = 171 500. - Чисел с не менее чем двумя 5: N_ge2_B = N_B − Z_B − N1_B = 444 528 − 214 375 − 171 500 = 58 653. 3) Сумма Общее количество чисел с не менее двух 5 и чередованием параитетов: N_total = N_ge2_A + N_ge2_B = 32 928 + 58 653 = 91 581. Ответ: 91 581.