найти производную функции у=х2корень из 1-х2

Задача: найти производную y = x^2 · sqrt(1 - x^2).

Пошаговое решение:

1. Обозначим u = x^2, v = sqrt(1 - x^2). Тогда y = u·v и по правилу производной произведения: dy/dx = u'·v + u·v'.

2. Найдем производные:

   • u' = d(x^2)/dx = 2x.
   • v = (1 - x^2)^{1/2}, поэтому v' = (1/2)(1 - x^2)^{-1/2}·(-2x) = -x / sqrt(1 - x^2).

3. Подставим: dy/dx = 2x · sqrt(1 - x^2) + x^2 · ( - x / sqrt(1 - x^2) ) = 2x sqrt(1 - x^2) - x^3 / sqrt(1 - x^2).

4. Приведём к общему знаменателю: dy/dx = [2x(1 - x^2) - x^3] / sqrt(1 - x^2) = (2x - 3x^3) / sqrt(1 - x^2) = x(2 - 3x^2) / sqrt(1 - x^2).

5. Область определения производной: требования под корнем и знаменатель не ноль дают -1 < x < 1.На границах x = ±1 производная не существует (касается существует вертикальная касательная).

Ответ: dy/dx = x(2 - 3x^2) / sqrt(1 - x^2), для -1 < x < 1.