Выберите все верные утверждения: У монотонной функции производная всегда положительная. Если производная функции на промежутке меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.…

Разберём по пунктам.

Ключевые понятия:

• Монотонная функция может быть неубывающей (возрастающей) или невозрастающей (убывающей). Она не обязана иметь производную, и даже если дифференцируема, производная не обязана быть положительной на всём промежутке.
• Если f'(x) < 0 на промежутке, функция strictly decreases на этом промежутке (из теоремы о среднем значении: для x1 < x2 есть ξ ∈ (x1, x2) such that f(x2) − f(x1) = f'(ξ)(x2 − x1) < 0).

Оценка утверждений:

1. У монотонной функции производная всегда положительная.

• Неверно. Монотонная функция может быть неубывающей или неубывающей; производная может быть нулевой или даже отрицательной в некоторых местах. Примеры:
  • f(x) = x^3: монотонно возрастание, но f'(x) = 3x^2, равна нулю при x = 0.
  • Константа f(x) = C: монотонна, но f'(x) = 0 на всей области. Поэтому утверждение не справедливо для общей монотонной функции.

2. Если производная функции на промежутке меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.

• Верно. Если f'(x) < 0 для всех x на (a,b), то для любых x1 < x2 в (a,b) разность f(x2) − f(x1) = f'(ξ)(x2 − x1) < 0 (где ξ ∈ (x1, x2) по теореме о среднем), значит f(x2) < f(x1). Это означает строгое убывание.

3. Значение функции в точке максимума не может быть меньше значения функции в точке минимума.

• Верно. По определению максимум — наибольшее значение функции на области, минимум — наименьшее. Следовательно f(x_max) ≥ f(x_min). Возможна ситуация, когда они равны (например, константная функция или одинаковые значимые точки на малодоминируемой области).

4. Функция может не иметь точек экстремума.

• Верно. Есть функции без локальных экстремумов, например f(x) = e^x на всей числовой оси — она строго возрастает и локальных максимумов/minima не имеет (практически нет точек, где производная меняет знак). Там также можно привести примеры функций без глобальных экстремумов в заданной области, если область не ограничена.

Итог выбора: Верны — 2, 3, 4. Неверно — 1.