В параллели 7-ых классов 80 учеников. Одиннадцать учеников участвовали в прыжках, 16 – в соревнованиях по бегу, 12 – в метании. Шесть учеников участвовали в прыжках и беге, 8 – в…
В параллели 7-ых классов 80 учеников. Одиннадцать учеников участвовали в прыжках, 16 – в соревнованиях по бегу, 12 – в метании. Шесть учеников участвовали в прыжках и беге, 8 – в беге и метании, 7 – в прыжках и метании. Во всех трех соревнованиях участвовали только три ученика. Найдите, сколько учеников приняли участие только в беге.
Задача сводится к разбиению участников по множествам: Прыжки (J), Бег (B), Метания (M).
Даны:
- |J| = 11, |B| = 16, |M| = 12
- |J ∩ B| = 6, |B ∩ M| = 8, |J ∩ M| = 7
- |J ∩ B ∩ M| = 3
Нужно найти только участников, которые участвовали только в беге (то есть в B, но не в J и не в M).
Разобьем множество B на части: B = только_B + (J ∩ B, но без M) + (B ∩ M, но без J) + (J ∩ B ∩ M)
Вычислим нужные подмножества:
- (J ∩ B, но без M) = |J ∩ B| − |J ∩ B ∩ M| = 6 − 3 = 3
- (B ∩ M, но без J) = |B ∩ M| − |J ∩ B ∩ M| = 8 − 3 = 5
- (J ∩ B ∩ M) = 3
Подстановка в равенство: |B| = только_B + 3 + 5 + 3 16 = только_B + 11
=> только_B = 16 − 11 = 5
Ответ: 5 учеников приняли участие только в беге.
Для проверки можно посчитать все раздельные части участия:
- Только J: |J| − [(J∩B без M) + (J∩M без B) + (J∩B∩M)] = 11 − (3 + 4 + 3) = 1
- Только M: аналогично получается 0
- J∩B без M = 3, J∩M без B = 4, B∩M без J = 5, все три = 3 Сумма участников в любые соревнования: 1 + 5 + 0 + 3 + 4 + 5 + 3 = 21, что совпадает с формулой включения-исключения: |J ∪ B ∪ M| = (11+16+12) − (6+8+7) + 3 = 21.
