Реши по физике задачу Найдите, при какой ширине / одномерной потенциальной ямы дискретность энергии электрона становится сравнимой с энергией теплового движения при температуре…
Реши по физике задачу Найдите, при какой ширине / одномерной потенциальной ямы дискретность энергии электрона становится сравнимой с энергией теплового движения при температуре 800 К. Масса электрона те = 9,11•10-31 кг; постоянная Планка h = 6,63-10-34 Дж • с; постоянная Больцмана k = 1,38• 10-23 Дж/К.
Задача: найти ширину оддномерной бесконечной потенциальной ямы L, при которой дискретность уровней становится сравнимой с энергией теплового движения при T = 800 K.
Энергии в бесконечной яме длины L: E_n = n^2 h^2 / (8 m L^2).
Разности соседних уровней: ΔE_n = E_{n+1} - E_n = (2n+1) h^2 / (8 m L^2).
Для простой оценки возьмём нижний переход n = 1: ΔE ≈ ΔE_1 = 3 h^2 / (8 m L^2).
Условие сравнимости с тепловой энергией: ΔE ≈ kT, при T = 800 K → kT = 1.38×10^-23 × 800 ≈ 1.104×10^-20 J.
Решение относительно L: L^2 = 3 h^2 / (8 m kT) L = h √[3 / (8 m kT)].
Подстановка чисел (m_e = 9.11×10^-31 кг, h = 6.63×10^-34 Дж·с): kT ≈ 1.104×10^-20 Дж 8 m kT ≈ 8 × 9.11×10^-31 × 1.104×10^-20 ≈ 8.05×10^-50 3 h^2 ≈ 3 × (6.63×10^-34)^2 ≈ 1.32×10^-66
L^2 ≈ (1.32×10^-66) / (8.05×10^-50) ≈ 1.64×10^-17 м^2 L ≈ √(1.64×10^-17) ≈ 4.0×10^-9 м.
Таким образом, ширина примерно L ≈ 4×10^-9 м = 4 нм.
Комментарий: полученная оценка основана на простейшем допущении ΔE ≈ kT, взятое для первого перехода E_2−E_1. Для других переходов ΔE_n = (2n+1) h^2 /(8 m L^2) даст схожий масштаб L; порядок масштаба остается несколькими нанометрами.
