Обозначим через ДЕЛ ( n , m ) ДЕЛ(n,m) утверждение «натуральное число n n делится без остатка на натуральное число m m». Для какого наименьшего натурального числа А А логическое выражение ( ¬ ДЕЛ ( x , 100 ) ∧ ДЕЛ ( x , 4 ) ) ∨ ДЕЛ ( x , 400 ) ∨ ¬ ДЕЛ ( x , A ) (¬ДЕЛ(x,100)∧ДЕЛ(x,4))∨ДЕЛ(x,400)∨¬ДЕЛ(x,A) тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х х)?
Задача переводая: ДЕЛ(n, m) значит, что m делит n, то есть m | n. Рассмотрим выражение для переменной x:
E(x) = (¬ДЕЛ(x,100) ∧ ДЕЛ(x,4)) ∨ ДЕЛ(x,400) ∨ ¬ДЕЛ(x,A)
То есть: (x не делится на 100) и (x делится на 4) OR (x делится на 400) OR (x не делится на A).
Цель: найти наименьшее натуральное A, при котором E(x) тождественно истинно (для любого натурального x).
1) Необходимость (минимальность A)
Если A не делится на 16 (то есть v2(A) ≤ 3), возьмём x = lcm(A, 100). Тогда:
- 100 | x по построению;
- 4 | x, потому что 100 имеет 2^2, и в lcm сохраняется 2^2 как минимум;
- 400 ∤ x, поскольку v2(x) = max(v2(A), 2) ≤ 3, значит x не кратен 400;
- A | x по построению.
Тогда:
- ¬ДЕЛ(x,100) = ложь, поэтому первый член (¬ДЕЛ(x,100) ∧ ДЕЛ(x,4)) ложен;
- ДЕЛ(x,400) ложна;
- ¬ДЕЛ(x,A) ложна (так как A | x).
Итак E(x) = ложь. Значит для любых A, не делящихся на 16, выражение не тождественно истинно. Следовательно, обязательно нужно, чтобы A было кратно 16.
2) Достаточность (A = наименьшее кратно 16)
Докажем, что при A = 16 выражение тождественно истинно.
Пусть A = 16 и возьмём произвольное натуральное x. Разделим по случаи:
- Случай 1: 4 ∤ x.
Тогда ДЕЛ(x,4) ложно, значит первый член (¬ДЕЛ(x,100) ∧ ДЕЛ(x,4)) ложно.
400 ∤ x (так как 400 кратно 4), значит второй член ложен.
Так как 16 ∤ x (поскольку 4 не делит x), третий член ¬ДЕЛ(x,16) истинна.
Следовательно E(x) истинно.
- Случай 2: 4 | x.
Подслучай 2a: 100 ∤ x. Тогда первый член истинен, потому что ¬ДЕЛ(x,100) истинно и ДЕЛ(x,4) истинно. Значит E(x) истинно.
Подслучай 2b: 100 | x.
- если также 400 | x, то второй член истинен и E(x) истинно;
- если 400 ∤ x, то нужно проверить, не может ли x быть кратен A = 16. Если x кратно 100 и 16, то x кратно lcm(100,16) = 400, что противоречит условию 400 ∤ x. Значит в этом подслучае x не кратен 16, и тогда ¬ДЕЛ(x,16) истинно, поэтому третий член истинен. Таким образом E(x) снова истинно.
Во всех случаях для A = 16 выражение истинно. Значит A = 16 обеспечивает тождественную истинность E(x).
3) Вывод
- Любой A, не кратный 16, не годится (существует контрпример x = lcm(A, 100), для которого E(x) = ложь).
- При A = 16 E(x) тождественно истинно.
- Наименьшее такое A равно 16.
Ответ: A = 16.
