Обозначим через ДЕЛ ( n , m ) ДЕЛ(n,m) утверждение «натуральное число n n делится без остатка на натуральное число m m». Для какого наименьшего натурального числа А А логическое…

Задача переводая: ДЕЛ(n, m) значит, что m делит n, то есть m | n. Рассмотрим выражение для переменной x: E(x) = (¬ДЕЛ(x,100) ∧ ДЕЛ(x,4)) ∨ ДЕЛ(x,400) ∨ ¬ДЕЛ(x,A) То есть: (x не делится на 100) и (x делится на 4) OR (x делится на 400) OR (x не делится на A).

Цель: найти наименьшее натуральное A, при котором E(x) тождественно истинно (для любого натурального x).

1. Необходимость (минимальность A) Если A не делится на 16 (то есть v2(A) ≤ 3), возьмём x = lcm(A, 100). Тогда:

• 100 | x по построению;
• 4 | x, потому что 100 имеет 2^2, и в lcm сохраняется 2^2 как минимум;
• 400 ∤ x, поскольку v2(x) = max(v2(A), 2) ≤ 3, значит x не кратен 400;
• A | x по построению.

Тогда:

• ¬ДЕЛ(x,100) = ложь, поэтому первый член (¬ДЕЛ(x,100) ∧ ДЕЛ(x,4)) ложен;
• ДЕЛ(x,400) ложна;
• ¬ДЕЛ(x,A) ложна (так как A | x).

Итак E(x) = ложь. Значит для любых A, не делящихся на 16, выражение не тождественно истинно. Следовательно, обязательно нужно, чтобы A было кратно 16.

2. Достаточность (A = наименьшее кратно 16) Докажем, что при A = 16 выражение тождественно истинно.

Пусть A = 16 и возьмём произвольное натуральное x. Разделим по случаи:

• Случай 1: 4 ∤ x. Тогда ДЕЛ(x,4) ложно, значит первый член (¬ДЕЛ(x,100) ∧ ДЕЛ(x,4)) ложно. 400 ∤ x (так как 400 кратно 4), значит второй член ложен. Так как 16 ∤ x (поскольку 4 не делит x), третий член ¬ДЕЛ(x,16) истинна. Следовательно E(x) истинно.

• Случай 2: 4 | x. Подслучай 2a: 100 ∤ x. Тогда первый член истинен, потому что ¬ДЕЛ(x,100) истинно и ДЕЛ(x,4) истинно. Значит E(x) истинно. Подслучай 2b: 100 | x.

  • если также 400 | x, то второй член истинен и E(x) истинно;
  • если 400 ∤ x, то нужно проверить, не может ли x быть кратен A = 16. Если x кратно 100 и 16, то x кратно lcm(100,16) = 400, что противоречит условию 400 ∤ x. Значит в этом подслучае x не кратен 16, и тогда ¬ДЕЛ(x,16) истинно, поэтому третий член истинен. Таким образом E(x) снова истинно.

Во всех случаях для A = 16 выражение истинно. Значит A = 16 обеспечивает тождественную истинность E(x).

3. Вывод

• Любой A, не кратный 16, не годится (существует контрпример x = lcm(A, 100), для которого E(x) = ложь).
• При A = 16 E(x) тождественно истинно.
• Наименьшее такое A равно 16.

Ответ: A = 16.