Классная задача на равенство трёх выражений при условии, что p, q, r — различные простые числа.
Дано: 2pqr + pq = 7pqr + 55pr = 8pqr + 12qr = A.
Чтобы проверить возможность существования таких p, q, r, рассмотрим сначала первые две части равенства.
- Приведём E1 и E2 к более простым видам:
E1 = 2pqr + pq = pq(2r + 1)
E2 = 7pqr + 55pr = pr(7q + 55)
Условие E1 = E2 даст:
pq(2r + 1) = pr(7q + 55)
Так как p ≠ 0, можно сократить на p:
q(2r + 1) = r(7q + 55)
Раскроем скобки:
2qr + q = 7qr + 55r
Переложим все в одну сторону:
q - 5qr - 55r = 0
Перепишем как:
q(1 - 5r) = 55r
Теперь заметим, что r — простое число, r ≥ 2, значит 1 - 5r ≤ 1 - 10 = -9, то есть (1 - 5r) отрицательно. Поскольку q > 0 (q — простое), левая сторона q(1 - 5r) отрицательна. Правая сторона 55r положительна. Получаем противоречие.
Следовательно, равенство E1 = E2 невозможно для любых p, q, r — тем более для различных простых.
Значит не существует тройки p, q, r, удовлетворяющей всему тройному равенству, и, следовательно, и A не может быть найдено (его существование исключено).
Дополнительная ремарка: если бы в задаче была опечатка и вместо 55pr стояло другое выражение, попытка проверки равенств потребовала бы другого подхода. Но в заданной формулировке равенство E1 = E2 уже ведёт к несостоятельности.
