Задача: различныe простые p, q, r удовлетворяют равенствам 2pqr + pq = 7pqr + 55pr = 8pqr + 12qr = A. Найти A.
Шаг 1. Рассмотрим ближайшее равенство A1 = A2:
2pqr + pq = 7pqr + 55pr.
Факторизуем:
p q (2r + 1) = p r (7q + 55).
Так как p ≠ 0, делим на p:
q (2r + 1) = r (7q + 55).
Развернем левую часть и перенесем всё в одну сторону:
2qr + q = 7qr + 55r
=> q (2r + 1) - 7qr = 55r
=> q [(2r + 1) - 7r] = 55r
=> q (1 - 5r) = 55r.
Шаг 2. Анализ полученного уравнения:
r — простое и r ≥ 2, поэтому (1 - 5r) ≤ 1 - 10 = -9, то есть (1 - 5r) отрицательно.
Левая часть q (1 - 5r) тогда отрицательна, в то время как правая часть 55r > 0.
Получаем противоречие: отрицательное равно положительному. Значит для любых допустимых p, q, r не существует таких, чтобы A1 = A2.
Следовательно, не существует набора p, q, r (различных простых), при котором полностью выполняются все три равенства A1 = A2 = A3. Особенно для A1 = A2 найденное противоречие уже достаточно.
Вывод:
Нет таких p, q, r (различных простых), чтобы соблюдалось 2pqr + pq = 7pqr + 55pr = 8pqr + 12qr. Следовательно, натурального числа A, удовлетворяющего условию, тоже не существует.
Примечание: можно дополнительно проверить совместимость A2 = A3, но и по одному из равенств уже видно противоречие. Возможно, в формулировке задачи опечатка (например, другая запись коэффициентов). Если пришлёте верную формулировку, могу повторно разобрать.
