14.42. Точка М находится на расстоянии 3 см от плоскости квадрата ABCD и равноудалена от его вершин. Найдите угол между плоскостями ВМС и DMС, если АВ = 4/2 см.

Дано: квадрат ABCD в плоскости, AB = 4/2 см = 2 см, следовательно сторона квадрата s = 2 см. Точка M находится на расстоянии 3 см от плоскости квадрата и равноудалена от его вершин A, B, C, D.

1. Что это значит геометрически

• Так как M равноудален от всех вершин квадрата, M принадлежит оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через центр O квадрата. Иначе говоря, проекция M на плоскость квадрата совпадает с центром квадрата O.
• Расстояние(M, плоскость) = 3 см значит высота h = 3 см над плоскостью квадрата.

2. Приведем к наглядной системе координат Положим плоскость квадрата как z = 0. Пусть центр квадрата O = (0, 0, 0). Взяв стороны вдоль осей, получаем вершины:

• A(-1, -1, 0)
• B(1, -1, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(-1, 1, 0)

Точка M находится на оси, перпендикулярной плоскости в O, на высоте 3:

• M(0, 0, 3)

3. Нормали к плоскостям BMC и DMC Плоскость BMC оканчивается тремя точками B, M, C. Её нормаль можно найти как векторное произведение векторов MB и MC.

• MB = B − M = (1, -1, 0) − (0, 0, 3) = (1, -1, -3)
• MC = C − M = (1, 1, 0) − (0, 0, 3) = (1, 1, -3) n1 = MB × MC = (6, 0, 2) → можно привести к удобному виду n1 ∝ (3, 0, 1)

Плоскость DMC оканчивается точками D, M, C. Нормаль через MD и MC.

• MD = D − M = (-1, 1, 0) − (0, 0, 3) = (-1, 1, -3)
• MC = (1, 1, -3) как выше n2 = MD × MC = (0, -6, -2) → можно привести к виду n2 ∝ (0, 3, 1)

4. Угол между двумя плоскостями Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Поэтому cos φ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)

Возьмем упрощенные нормали:

• n1 = (3, 0, 1)
• n2 = (0, 3, 1)

Скалярное произведение: n1 · n2 = 30 + 03 + 1*1 = 1 Длины векторов: |n1| = √(3^2 + 0^2 + 1^2) = √10, |n2| = √(0^2 + 3^2 + 1^2) = √10

Тогда cos φ = 1 / (√10 · √10) = 1 / 10

Итак, φ = arccos(1/10) ≈ 84.3 градуса.

Ответ: угол между плоскостями BMC и DMC равен arccos(1/10) ≈ 84,3°.