64x²-25y²=

Задача выглядит как разность квадратов. Разобрать по шагам. Что мы делаем 1) Заметим: 64x^2 = (8x)^2, 25y^2 = (5y)^2. Значит 64x^2 - 25y^2 = (8x)^2 - (5y)^2. 2) Применяем формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Здесь a = 8x, b = 5y. Итак, факторизация: 64x^2 - 25y^2 = (8x - 5y)(8x + 5y) Проверка (для понимания) (8x - 5y)(8x + 5y) = (8x)^2 - (5y)^2 = 64x^2 - 25y^2. Всё верно. Если правая часть равна нулю 64x^2 - 25y^2 = 0 ⇔ (8x - 5y)(8x + 5y) = 0 Следовательно, - 8x - 5y = 0 → y = (8/5) x - или 8x + 5y = 0 → y = -(8/5) x Таким образом, множество решений — две прямые на координатной плоскости. Если правая часть равна произвольному числу k Заменяем: (8x - 5y)(8x + 5y) = k. Можно ввести новые переменные: u = 8x - 5y, v = 8x + 5y → uv = k. Из этих двух линейных уравнений найдём x и y: x = (u + v) / 16, y = (v - u) / 10. Это полезно, если нужно найти конкретные решения или график гиперболы на оси u, v. Пример (в целях понимания) Пусть k = 0: уже нашли решения — две прямые y = (8/5)x и y = -(8/5)x. Пусть k = 1: выберем u = 1, v = 1 → x = (1+1)/16 = 1/8, y = (1-1)/10 = 0. Проверка: 64(1/8)^2 - 25(0)^2 = 64*(1/64) = 1, да. Итого - Факторизация: 64x^2 - 25y^2 = (8x - 5y)(8x + 5y). - Приравнивая к нулю, получаем две прямые: y = (8/5)x и y = -(8/5)x. - При равенстве к другому числу k используем (8x - 5y)(8x + 5y) = k и далее параметры u, v как выше.