Билетами по геометрии за 8 класс. Билет №1 * Краткое пояснение: Этот билет охватывает основные понятия геометрии: многоугольники и треугольники. 1. Определение многоугольника. Вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника. 2. Теорема о средней линии треугольника. 3. Радиус окружности с центром в точке пересекает хорду в точке и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды , если см, а радиус окружности равен см. 4. Периметр прямоугольника равен , а диагональ равна . Найдите площадь этого прямоугольника. Билет №2 * Краткое пояснение: Этот билет посвящен параллелограммам, квадратам и задачам на подобие треугольников. 1. Определение и свойства параллелограмма. 2. Свойства квадрата. 3. Проектор полностью освещает экран высотой см, расположенный на расстоянии см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран высотой см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? 4. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а дуга окружности, заключённая внутри этого угла, равна . Билет №3 * Краткое пояснение: В этом билете проверяются знания о прямоугольниках, теореме Пифагора и свойствах вписанных углов. 1. Определение и свойства прямоугольника. 2. Теорема Пифагора. 3. Найдите величину (в градусах) вписанного угла , опирающегося на хорду , равную радиусу окружности. 4. Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка , если см, см. Билет №4 * Краткое пояснение: Здесь тебе понадобятся знания о ромбах, вписанных углах и теореме Пифагора. 1. Определение и свойства ромба. 2. Теорема о вписанном угле (любой частный случай). 3. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно км/ч и км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через часа? 4. В треугольнике углы и равны и соответственно. Найдите угол между высотой и биссектрисой

Отлично, давай разоберём каждую задачу по билетам с пошаговыми пояснениями. Я буду давать общие формулы и методику решения, которые подходят для 8‑классной геометрии. Если ты пришлёшь конкретные числовые значения (например, радиус r, расстояние d, длины оснований и т. п.), я подставлю их и посчитаю ответ точно. Билет №1 (Геометрия, 9 класс) 1) Определение многоугольника; сумма углов выпуклого многоугольника; периметр - Что это: многоугольник – замкнутая фигура, образованная связной цепью из прямых отрезков (сторон) с конечными вершинами; выпуклый – все внутренние углы меньше 180°; вершины – углы, стороны – отрезки. - Сумма углов выпуклого n‑угольника: S = (n − 2) · 180°. - Периметр: P = сумма длин всех сторон. - Пошаговый разбор: - Раздели многоугольник на n−2 треугольников, проведя диагонали из одной вершины. - Сумма углов треугольников равна (n−2)·180°, и это и есть сумма внутренних углов многоугольника. - Периметр находится как сумма длин сторон; если есть данные длин сторон, просто сложи их. - Примечание: если дано n, можно сразу выписать S = (n−2)·180°. 2) Теорема о средней линии треугольника - Что это: середина отрезков, соединяющих середины двух сторон треугольника, образует отрезок, параллельный третьей стороне и равный ей по длине пополам. - Формулировка: В треугольнике ABC середины AB и AC соединены отрезком DE. Тогда DE ∥ BC и DE = BC/2. - Пошаговый разбор: - Соедините середины двух сторон; получившийся отрезок DE параллелен третьей стороне BC. - За счёт подобия треугольников ADE и ABC получаем DE/BC = 1/2. - Следовательно, DE = BC/2. - Примечание: можно привести и геометрическое доказательство через подобие треугольников. 3) Радиус окружности в точке пересечения с хордав и перпендикуляр к хорде - Что известно: радиус r перпендикулярен хорде AB и пересекает её в её середине в точке M. OM ⟂ AB, OA = OB = r. Расстояние OM от центра до хорды равно d (дано). Нужно найти длину хорды AB. - Формула: AB = 2 · sqrt(r^2 − d^2). - Пошаговый разбор: - Угол OMA — прямой; OM — биссектор двойного треугольника OA (радиус) и AB (половина хорды). - В треугольнике OAM: OA^2 = OM^2 + AM^2, откуда AM = sqrt(r^2 − d^2). - Половина хорды равна AM, следовательно AB = 2·AM = 2·sqrt(r^2 − d^2). - Примечание: здесь ключевая идея — хорда отцентрована радиусом, перпендикулярным хорде, и делит хорду пополам. 4) Периметр прямоугольника P и диагональ d, найти площадь - Обозначим стороны прямоугольника a и b, тогда: - Периметр: P = 2(a + b). - Диагональ: d^2 = a^2 + b^2 (по теореме Пифагора). - Пошаговый разбор: - Из P найдём сумму сторон: a + b = P/2. - Используем формулу: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = d^2 + 2ab. - Поэтому 2ab = (a + b)^2 − d^2 = (P/2)^2 − d^2. - Следовательно площадь S = ab = [(P/2)^2 − d^2] / 2. - Примечание: можно записать эквивалентно S = (P^2 − 4d^2)/8. Билет №2 (Параллелограммы, квадрат и задачи) 1) Определение и свойства параллелограмма - Параллелограмм – четырёхугольник с противоположными сторонами параллельными. - Свойства: - Противоположные стороны равны и параллельны. - Противоположные углы равны. - Диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. - Площадь S = основание × высота (S = a · h). - Примечания: диагонали не обязательно равны; в квадрате и прямоугольнике дополнительные свойства. 2) Свойства квадрата - Квадрат – это параллелограмм с равными сторонами и углами 90°. - Свойства квадрата: - Все стороны равны. - Все углы по 90°. - Диагонали равны, пересекаются, делят углы пополам, взаимно перпендикулярны. - Площадь S = сторона^2. - Примечание: квадрат является как параллелограммом, так и ромбом. 3) Пример про проектор и экран - Задача: проектор освещает экран высоты H0, находящийся на расстоянии D0 от проектора. Найти минимальное расстояние D для экрана высоты H при тех же настройках проектора. - Формула: D_min = D0 · (H / H0). - Пояснение: - Вертикальный угол обзора проектора задаётся фиксируемым углом обзора. Его вертикальная "ширина" растёт линейно с расстоянием: ширина на расстоянии D растёт пропорционально D. - Следовательно отношение высоты к расстоянию H/D остаётся постоянным: H/D = H0/D0. - Чтобы поместить экран высотой H, достаточно расстояние D, где H/D = H0/D0, то есть D = D0 · (H / H0). 4) Найдите угол α, если его сторона β касается окружности, γ — центр окружности, а дуга δ внутри угла равна ε - Правило: теорема о касательной и секущей (теорема о вписанном угле в касательной случае) говорит: угол между касательной к окружности и секущей, образующий внутри угла, равен половине меры соответствующей дуги. - Применение: если одна сторона угла касается окружности (касательная) и дуга, заключённая внутри этого угла, имеет меру ε, то искомый угол α равен ε/2. - Пояснение: угол, образованный касательной и другой стороной, подсчитывается как половина меры дуги, которую этот угол «видит» на окружности. Билет №3 (Прямоугольники, Пифагор и вписанные углы) 1) Определение и свойства прямоугольника - Прямоугольник – параллелограмм с углами по 90°. - Свойства: - Противоположные стороны параллельны и равны. - Диагонали равны, пересекаются и делят друг друга пополам. - Площадь S = a · b, где a и b – длины соседних сторон. 2) Теорема Пифагора - В прямоугольном треугольнике с катетами a, b и гипотенузой c выполняется: a^2 + b^2 = c^2. - Применение: для любого прямоугольника диагональ образует два congruent прямоугольных треугольника. 3) Найдите величину вписанного угла, опирающегося на хорду равную радиусу - Обозначим радиус окружности R; хорда длиной R. - Связь хорды c и центрального угла θ: c = 2R sin(θ/2). - Подстановка: R = 2R sin(θ/2) → sin(θ/2) = 1/2 → θ/2 = 30°, следовательно центральный угол θ = 60°. - Вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, равен половине центрального угла: α = θ/2 = 30°. - Ответ: 30°. 4) Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей и пересекает боковые стороны в двух точках; найдите длину отрезка между ними, если длины оснований равны a и c - Обозначим основания трапеции как нижнее a и верхнее c. - Через пересечение диагоналей провести линию, параллельную основаниям; её длина EF между боковыми сторонами равна гармонической среднему значению оснований: EF = 2ac / (a + c). - Пояснение через аналогии и подобие: ширина трапеции на уровне y пропорциональна y; координатный подход приводит к формуле EF = 2ac/(a+c). Билет №4 (Ромбы, вписанные углы и задача про перевозки) 1) Определение и свойства ромба - Ромб – параллелограмм с равными сторонами. - Свойства: - Все стороны равны. - Противоположные стороны параллельны. - Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. - Диагонали не обязательно равны (могут быть разной длины), но они построены из перпендикулярных биссектрис. - Дополнительная заметка: ромб – частный случай параллелограмма и является одним из типов квадрата, если углы равны 90°. 2) Теорема о вписанном угле (частный случай) - Вписанный угол в окружности равен половине дуги, на которую он опирается. - Частный случай: если вписанный угол опирается на дугу, равную 180°, то угол равен 90° (т.е. угол, subtendящий диаметр, прямой). 3) Два парохода уходят на север и на запад; скорости v1 и v2 км/ч; расстояние через t часов - Пусть один пароход идёт на север со скоростью v1, другой на запад со скоростью v2. - Их координаты через t часов: (0, v1 t) и (−v2 t, 0). - Расстояние между ними: D(t) = sqrt[(v2 t)^2 + (v1 t)^2] = t · sqrt(v1^2 + v2^2). - Значит через t часов расстояние равно t умножить на корень из суммы квадратов скоростей. 4) В треугольнике углы A, B и C равны соответствующим заданным значениям; найти угол между высотой и биссектрисой - Приведу общий подход и формулу, полезную для любых таких задач. - Пусть высота AH опущена из вершины A на сторону BC, а AI — биссектриса угла A внутри треугольника. - Угол между AH и AB равен 90° − ∠B (поскольку AH ⟂ BC и угол между AB и BC равен ∠B). - Угол между AI и AB равен ∠A/2 (биссектриса делит угол A пополам). - Поэтому угол между AH и AI равен разности этих двух углов по модулю: угол( AH, AI ) = | (90° − ∠B) − ∠A/2 |. - Если известны значения ∠A и ∠B, подставляешь и получаешь число. - Примечание: если задача подразумевает другой выбор вершины для высоты и/или биссектрисы, аналогично можно взять соответствующие углы: для высоты из вершины B и биссектрисы угла B угол будет |(90° − ∠A) − ∠B/2| и т.д. Как работать с конкретными числами - Чтобы получить численные ответы, пришли значения: количества сторон n (для билета 1), расстояния d и радиус r (для пункта 3 билета 1), периметр P и диагональ d (билет 1, пункт 4), основания трапеции (для билет 3 п.4), и т.д. - Я тут же подставлю и посчитаю, покажу все шаги и итоговые числа. Если хочешь, могу сделать полный расчёт по каждому пункту сразу, но с конкретными числами. Напиши те значения, которые есть (например: для билета 1 пункт 3 — радиус r и расстояние d; для билета 1 пункт 4 — P и d; для билета 3 пункт 4 — основания трапеции и нужные углы; и т.д.).