ПОздним вечером молодой человек идет с постоянной скоростью V0=1,2 м/с от фонарного столба высотой Н=5м к стене. Расстояние от столба до стены равно L=15 м. внекоторый момент настене появляется тень человека. Она растет до тех пор пока человек не приблизится к стене вплотную. С какой средней скоростью тень двигалась по стене.

Задача: фонарь высотой H = 5 м стоит у ла́мпы, стена на расстоянии L = 15 м. Молодой человек высотой h (не дан) идёт к стене со скоростью V0 = 1,2 м/с. Тень человека появляется на стене и растёт до момента, пока он не дойдёт вплотную до стены. Нужно найти среднюю скорость движения вершины тени по стене. Уточнение: будем считать, что вершина тени — это верхняя граница тени на стене. При этом высота головы h < H (у обычного человека) и тень появляется на стене только тогда, когда верхняя граница проецирования достигает стены выше уровня земли. 1) Геометрия - Пусть x(t) — горизонтальное расстояние от фonarя до человека. Человек идёт к стене: dx/dt = V0 (постоянно). - Верхняя граница тени на стене, y(x), определяется как пересечение линии, проходящей через верх фонаря (0, H) и верх головы человека (x, h), с вертикальной стеной x = L. - По похожим треугольникам: y = H + (h − H) · (L / x). 2) Когда тень появляется - Тень существует на стене только если y > 0. Точка появления соответствует y = 0: 0 = H + (h − H) · (L / x0) ⇒ x0 = L · (H − h) / H. - То есть пока человек идёт от x = x0 до x = L, тень «растёт» по стене. 3) Накопленное движение тени по стене - Положение верхней границы тени на стене: y(x) = H + (h − H) · (L / x). - Длина тени на стене (до уровня земли) равна s(x) = y(x). При x = x0 получаем s = 0, при x = L получаем s = h. - Время от появления тени до встречи с человеком на стене: Δt = ∫ dt = ∫ dx / V0 от x0 до L = (L − x0) / V0. Подставим x0: L − x0 = L − L(H − h)/H = L · (h / H). Значит Δt = (L h) / (H V0). 4) Средняя скорость движения тени по стене - Общая пройденная «расстояние» тени по стене за это время: Δs = h − 0 = h. - Средняя скорость v_avg по стене: v_avg = Δs / Δt = h / [ (L h) / (H V0) ] = (H V0) / L. 5) Численно - H = 5 м, L = 15 м, V0 = 1,2 м/с. - v_avg = (5 · 1,2) / 15 = 6 / 15 = 0,4 м/с. Ответ: средняя скорость движения вершины тени по стене равна 0,4 м/с (независимо от высоты человека, при условии h < H).