Биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите что точка О равно удалена от прямых AB, Bc ,Ac и составьте чертеж

Доказательство и чертеж.

Идея: точка O — пересечение внешних биссектрис углов B и C. Лучшая формула: точка на внешнем бисектрисе рав distances до двух линий, образующих этот угол. Поэтому:

• на внешнем бисектрисе угла B d(O, AB) = d(O, BC);
• на внешнем бисектрисе угла C d(O, BC) = d(O, CA).

Следовательно d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CA). Значит O равноудален от прямых AB, BC и CA.

Чертеж (пошагово, чтобы выполнить на чертеже):

1. Постройте треугольник ABC с данными вами вершинами.
2. Постройте внутренний биссектор угла B (методом равных расстояний до линий AB и BC). Через B проведите линию — это внутренний биссектор.
3. Проведите через B линию, перпендикулярную этому внутреннему бисектору — она является внешним бисектрисой угла B.
4. Аналогично построите внешний бисектор угла C: найдите его внутренний бисектор, затем проведите через C линию, перпендикулярную нему.
5. Найдите точку O — пересечение этих двух внешних бисектрис B и C.
6. Опустите перпендикуляры из O к каждой из сторон: OD ⟂ AB, OE ⟂ BC, OF ⟂ CA. Обозначьте точки касания D, E, F соответственно.
7. Отложите радиус r = OD = OE = OF. Постройте окружность с центром в O и радиусом r. Эта окружность будет касаться прямых AB, BC и CA (эксцентрическая окружность против вершины A).
8. Примечание: по построению OD = OE = OF, так что O равноудален от всех трех прямых AB, BC, CA.

Кратко формулировка результата: Пусть O — пересечение внешних биссектрис углов B и C треугольника ABC. Тогда d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CA). Значит O — центр и эксцентриса противоположной вершины A; существующая окружность с центром O и радиусом равным этой общей дистанции касается сторон AB, BC и CA.