Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса R в точках А и В соответственно. Найдите радиус R, если АВ=11, r=5.

Решение задачи с разбором по шагам. Даны: две окружности радиуса r касаются друг друга и каждая касается изнутри большой окружности радиуса R в точках A и B соответственно. AB = 11, r = 5. Найдем R. 1) Обозначения - O — центр большой окружности радиуса R. - O1, O2 — центры двух малых окружностей радиуса r, при этом OO1 = OO2 = R − r (поскольку малые окружности касаются внутренне большой). - A — точка касания одной малой окружности с большой, лежит на луче OA за O1, B — аналогично на OB за O2. - Пусть ∠AOB = θ. Тогда A, B лежат на большой окружности. 2) Связи между AB, R и θ - Хорда AB большой окружности: AB = 2 R sin(θ/2). 3) Связь между O1O2, R, r и θ - Треугольник O, O1, O2: O1 и O2 лежат на окружности радиуса R − r вокруг O, расстояние O1O2 равно 2r (малые окружности касаются друг друга). - По теореме косинусов: O1O2^2 = OO1^2 + OO2^2 − 2·OO1·OO2·cosθ = (R − r)^2 + (R − r)^2 − 2(R − r)^2 cosθ = 2(R − r)^2(1 − cosθ) = 4(R − r)^2 sin^2(θ/2). Так как O1O2 = 2r, получаем: 4(R − r)^2 sin^2(θ/2) = 4 r^2 ⇒ sin(θ/2) = r/(R − r). 4) Сочетаем две формулы для sin(θ/2) Из пункта 2) AB = 2R sin(θ/2). Подставим sin(θ/2) из пункта 3): AB = 2R · [r/(R − r)] = (2Rr)/(R − r). Задача требует найти R при данныx AB = 11 и r = 5. Приравниваем и решаем относительно R: 11 = (2R·5)/(R − 5) ⇒ 11(R − 5) = 10R ⇒ 11R − 55 = 10R ⇒ R = 55. 5) Проверка (быстрый контроль) - sin(θ/2) = r/(R − r) = 5/(55 − 5) = 5/50 = 0.1. - AB = 2R sin(θ/2) = 2·55·0.1 = 11 — верно. - O1O2 = 2r = 10 и O1O2 по формуле = 2(R − r) sin(θ/2) = 2·50·0.1 = 10 — согласуется. Ответ: R = 55.