1/(a+b)²+1/a+b

Задача: привести к единой дроби выражение E = 1/(a+b)^2 + 1/a + b (при этом a ≠ 0 и a + b ≠ 0, чтобы дроби были определены). Если нужен другой смысл выражения, скажите.

Пошаговое решение

1. Перепишем часть 1/a + b так, чтобы было одинаковое основание для сложения:

• 1/a + b = (1 + ab) / a.

2. Найдём общий знаменатель для сложения 1/(a+b)^2 и (1+ab)/a. Общий знаменатель будет a (a+b)^2.

3. Запишем каждую часть с общим знаменателем:

• 1/(a+b)^2 = a / [a (a+b)^2].
• (1+ab)/a = (1+ab) (a+b)^2 / [a (a+b)^2].

4. Сложим дроби: E = [a + (1+ab) (a+b)^2] / [a (a+b)^2].

Это и есть единая дробь для данного выражения.

Дополнительно: развёрнутая форма (по желанию)

• Можно разложить (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 и умножить на (1+ab), после чего добавить a. Получим числитель N = a + (1+ab)(a^2 + 2ab + b^2) = a + (a^2 + 2ab + b^2) + ab(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 b + 2 a^2 b^2 + a b^3 + a^2 + 2ab + b^2 + a.

Тогда выражение можно записать как E = [a^3 b + 2 a^2 b^2 + a b^3 + a^2 + 2ab + b^2 + a] / [a (a+b)^2].

Проверка на примере Пусть a = 1, b = 1:

• Исходное E = 1/(2)^2 + 1/1 + 1 = 1/4 + 1 + 1 = 2.25.
• По единой дроби: числитель N = 1 + (1+1·1)(2)^2 = 1 + 2·4 = 9; знаменатель D = 1·(2)^2 = 4; E = 9/4 = 2.25. Совпадает.

Область определения

• Нужно, чтобы a ≠ 0 и a + b ≠ 0. Иначе дроби не определены.