В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ , AB = 13 , BC = 5 . Найдите \tg A . 2. В треугольнике ABC AC = BC = 10 , AB = 16 . Найдите высоту CH . 3. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30^\circ . 4. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, а боковая сторона равна 5. Найдите высоту трапеции. 5. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна 8\pi . 6. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно \sqrt{43} . 7. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 4. 8. Найдите объем конуса, образующая которого равна 13 и наклонена к плоскости основания под углом, косинус которого равен \frac{5}{13} . 9. Найдите площадь поверхности шара, радиус которого равен 2\sqrt{3} . 10. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 4. 11. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ дайте в сантиметрах. 12. Даны векторы \vec{a}(2; -1; 3) и \vec{b}(-1; 2; 0) . Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b} . 13. Найдите косинус угла между векторами \vec{a}(1; 2; -2) и \vec{b}(2; 0; -4) . 14. Даны точки A(1; 2; 3) и B(5; -2; 1) . Найдите расстояние между ними. 15. Найдите координаты середины отрезка AB , если A(-1; 3; 4) , B(5; -1; 2) .

Ниже подробные пошаговые решения для всех 15 задач. Цель — понять материал и увидеть, как приходят ответы. 1) В треугольнике ABC угол C = 90°, AB = 13, BC = 5. Найдите tan A. - Так как угол C прямой, гипотенуза AB = 13. BC — один из катетов, длина AC найдём по теореме Пифагора: AC^2 + BC^2 = AB^2 → AC^2 + 5^2 = 13^2 → AC^2 = 169 − 25 = 144 → AC = 12. - Для угла A противолежащая сторона — BC = 5, прилегающая — AC = 12. - tan A = противолежащий/прилегающий = BC/AC = 5/12. Ответ: tan A = 5/12. 2) В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 16. Найдите высоту CH (до основания AB). - Это равнобедренный треугольник, высота CH опускается в середину основания AB, деля AB на два отрезка по 8. - В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 10 и отрезком основания 8 находим высоту: h^2 + 8^2 = 10^2 → h^2 = 100 − 64 = 36 → h = 6. Ответ: CH = 6. 3) Даны две стороны 8 и 12 и угол между ними 30°. Найдите площадь треугольника. - Формула площади через две стороны и угол между ними: S = 1/2 * a * b * sin(γ). - S = 1/2 * 8 * 12 * sin 30° = 48 * 1/2 = 24. Ответ: площадь = 24. 4) Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, боковая сторона равна 5. Найдите высоту h трапеции. - Разность оснований: 11 − 5 = 6; по боковой стороне в трапеции горизонтальная составляющая является половиной разности, т. е. offset = (11 − 5)/2 = 3. - В прямоугольном треугольнике с гипотенузой боковая сторона 5 и горизонтальной компонентой 3 находим высоту: h^2 + 3^2 = 5^2 → h^2 = 25 − 9 = 16 → h = 4. Ответ: высота трапеции h = 4. 5) Найдите площадь круга по длине окружности 8π. - C = 2πR = 8π → R = 4. - Площадь S = πR^2 = π·16 = 16π. Ответ: S = 16π. 6) Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды (квадратная пирамида) со стороной основания 6 и боковым ребром √43. - Основание — квадрат со стороной a = 6. Поле основания S_b = a^2 = 36. - Боковое ребро l = √43 — это расстояние от вершины до любой вершины основания. В центр основания опускаем высоту пирамиды h; расстояние от центра основания до вершины основания (полудиагональ квадрата) равно √( (a/2)^2 + (a/2)^2 ) = √( (3)^2 + (3)^2 ) = √18 = 3√2. - По пифагоровой теореме вдоль апекса: l^2 = h^2 + (полудиагональ)^2 → 43 = h^2 + 18 → h^2 = 25 → h = 5. - Объем V = (1/3)·S_b·h = (1/3)·36·5 = 12·5 = 60. Ответ: V = 60. 7) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 4. - Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной a = 4. Периметр основания P = 3a = 12. - Боковая поверхность состоит из трёх прямоугольников высотой равной боковому ребру призмы, которое равно 4. - Площадь боковой поверхности S_b = P · h = 12 · 4 = 48. Ответ: S_b = 48. 8) Найдите объем конуса, образующая которого равна 13 и наклонена к плоскости основания под углом, косинус которого равен 5/13. - Обозначим: l = образующая = 13, угол между образующей и плоскостью основания φ, cos φ = r / l, где r — радиус основания. - Тогда r = l · cos φ = 13 · (5/13) = 5. - Высота конуса h = sqrt(l^2 − r^2) = sqrt(13^2 − 5^2) = sqrt(169 − 25) = sqrt(144) = 12. - Объем V = (1/3)π r^2 h = (1/3)π · 25 · 12 = 100π. Ответ: V = 100π. 9) Найдите площадь поверхности шара радиуса 2√3. - S = 4πr^2 = 4π(2√3)^2 = 4π · (4·3) = 48π. Ответ: S = 48π. 10) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 4. - Это правильная треугольная призма: основание — равносторонний треугольник с площадью 6, высота призмы равна длине бокового ребра 4. - Объем призмы V = площадь основания × высота = 6 × 4 = 24. Ответ: V = 24. 11) В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет уровень во втором сосуде, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ в сантиметрах. - Радиусы: r1 = d1/2, r2 = d2/2 = (2d1)/2 = d1 = 2r1. - Объем жидности сохраняется: πr1^2 h1 = πr2^2 h2. - πr1^2 · 16 = π(2r1)^2 · h2 → r1^2·16 = 4r1^2·h2 → 16 = 4h2 → h2 = 4. Ответ: h2 = 4 см. 12) Даны векторы a = (2; −1; 3) и b = (−1; 2; 0). Найдите скалярное произведение a · b. - a · b = 2(−1) + (−1)·2 + 3·0 = −2 − 2 + 0 = −4. Ответ: a · b = −4. 13) Найдите косинус угла между векторами a = (1; 2; −2) и b = (2; 0; −4). - Скалярное произведение: a · b = 1·2 + 2·0 + (−2)·(−4) = 2 + 0 + 8 = 10. - Длины векторов: |a| = sqrt(1^2 + 2^2 + (−2)^2) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3. |b| = sqrt(2^2 + 0^2 + (−4)^2) = sqrt(4 + 0 + 16) = sqrt(20) = 2√5. - cos θ = (a · b) / (|a| |b|) = 10 / (3 · 2√5) = 10 / (6√5) = 5 / (3√5) = √5 / 3. Ответ: cos θ = √5/3. 14) Даны точки A(1; 2; 3) и B(5; −2; 1). Найдите расстояние AB. - AB = sqrt[(5−1)^2 + (−2−2)^2 + (1−3)^2] = sqrt[4^2 + (−4)^2 + (−2)^2] = sqrt(16 + 16 + 4) = sqrt(36) = 6. Ответ: AB = 6. 15) Найдите координаты середины отрезка AB, если A(−1; 3; 4), B(5; −1; 2). - Средняя координата: M = ((−1+5)/2, (3+(−1))/2, (4+2)/2) = (4/2, 2/2, 6/2) = (2, 1, 3). Ответ: середина AB = (2; 1; 3).