cos5x + sin 3x = 0

Задача: cos(5x) + sin(3x) = 0

Решение (пошагово, без указания класса/предмета, подход для средней школы):

1. Перепишем sin(3x) так, чтобы слева была только cos: cos(5x) + sin(3x) = 0 => cos(5x) = - sin(3x) = sin(-3x)

2. Воспользуемся тождеством sin θ = cos(π/2 − θ): sin(-3x) = cos(π/2 − (−3x)) = cos(π/2 + 3x)

Значит, получаем уравнение cos(5x) = cos(π/2 + 3x)

3. Решаем уравнение косинусов cosine(A) = cosine(B): A = 5x, B = π/2 + 3x

Два случая:

• Случай 1: 5x = B + 2kπ = π/2 + 3x + 2kπ => 2x = π/2 + 2kπ => x = π/4 + kπ

• Случай 2: 5x = −B + 2kπ = −(π/2 + 3x) + 2kπ => 8x = −π/2 + 2kπ => x = −π/16 + kπ/4

4. Общий ответ: x ∈ { π/4 + kπ, −π/16 + kπ/4 } при любом целочисленном k.

Проверка (пример):

• Пусть k = 0 в первом множестве: x = π/4. Тогда cos(5x) = cos(5π/4) = −√2/2, sin(3x) = sin(3π/4) = √2/2, сумма 0. Проверено.

Если нужно, можно привести дополнительные проверки для других значений k.