Плоскость, проходящая через сторону основания правиль-ной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол в 45° Высота призмы равна h. Определите…
Плоскость, проходящая через сторону основания правиль-ной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол в 45° Высота призмы равна h. Определите пло- BI адь боковой поверхности призмы. K 1) 3h2 3) 2v3h? 2) N3h2 4) 2h2
Пусть основание призмы – правильный треугольник со стороной a. Высота призмы h.
- Примем координаты: нижнее основание в плоскости z=0, A(0,0,0), B(a,0,0), C(a/2, √3 a/2, 0). Верхнее основание соответствует A'(0,0,h), B'(a,0,h), C'(a/2, √3 a/2, h).
Плоскость Π проходит через сторону AB и через середину ребра CC'. Ее середина M имеет координаты M(a/2, √3 a/2, h). Две произвольные вектора в Π: AB = (a,0,0) и AM = M − A = (a/2, √3 a/2, h). Вектор-нормаль Π: n = AB × AM = (0, −ah, (√3/2)a^2).
Плоскость основания имеет нормаль n0 = (0,0,1). Угол между плоскостью Π и основанием равен углу между нормалями, поэтому cos φ = |n · n0| / (|n| |n0|) = |(√3/2) a^2| / sqrt((ah)^2 + ((√3/2)a^2)^2) = ( (√3/2) a ) / sqrt(h^2 + (3/4)a^2).
Дано φ = 45°, поэтому cos φ = √2/2. Получаем (√3/2) a / sqrt(h^2 + (3/4)a^2) = √2/2 => sqrt(h^2 + (3/4)a^2) = a√(3/2) => h^2 + (3/4)a^2 = (3/2)a^2 => h^2 = (3/2 − 3/4) a^2 = (3/4)a^2 => a^2 = (4/3) h^2.
- Боковая поверхность призмы равна площади лентной поверхности: S_b = периметр основания × высота = (3a) h.
Подставляем a^2 = (4/3) h^2: a = (2/√3) h, hence S_b = 3a h = 3 · (2/√3) h · h = (6/√3) h^2 = 2√3 h^2.
Ответ: 2√3 h^2.
