Y = x ^ 3 - 3x

Задача: разобрать функцию y = x^3 − 3x (цель: понять поведение функции). Пошаговое решение и объяснения 1) Факторизация и корни - y = x^3 − 3x = x(x^2 − 3) = x(x − √3)(x + √3). - Корни (где y = 0): x = 0, x = √3, x = −√3. 2) Монотонность и критические точки (первая производная) - dy/dx = 3x^2 − 3 = 3(x^2 − 1) = 3(x − 1)(x + 1). - Критические точки: x = −1 и x = 1. - Анализ монотонности: - На (-∞, −1): возрастание (возьмём x = −2 → dy/dx = 3(4 − 1) = 9 > 0). - На (−1, 1): убывание (x = 0 → dy/dx = −3 < 0). - На (1, ∞): возрастание (x = 2 → dy/dx = 9 > 0). - Следовательно: - локальный максимум при x = −1, - локальный минимум при x = 1. Значения в этих точках: - y(−1) = (−1)^3 − 3(−1) = −1 + 3 = 2. - y(1) = 1 − 3 = −2. 3) Вторая производная и точки перегиба (вторая производная) - y'' = d^2y/dx^2 = 6x. - Точка перегиба (изменение знака выпуклости): x = 0. - для x < 0 функция выпукла вниз (y'' < 0), - для x > 0 выпукла вверх (y'' > 0). 4) Значения в важных точках и нули - Нули: x = 0, ±√3. - Значения: - y(0) = 0, - y(√3) = (√3)^3 − 3√3 = 3√3 − 3√3 = 0, - y(−√3) = −(√3)^3 + 3√3 = −3√3 + 3√3 = 0. - Прочие примеры: - y(−1) = 2 (локальный максимум), - y(1) = −2 (локальный минимум). 5) Свойства графика - Функция является нечетной: y(−x) = −y(x). Это связано с тем, что все члены — нечётные степени (x^3 и −3x). - Пределы и диапазон: так как старший член x^3 доминирует при больших |x|, и x^3 растет без ограничений, диапазон всей функции — все реальные числа. Пределы: y → ∞ при x → ∞; y → −∞ при x → −∞. - График имеет S-образную форму: возрастает на −∞ до −1, достигает максимума 2 в x = −1, затем убывает до минимума −2 в x = 1, после этого вновь возрастает. 6) Краткое резюме - Корни: x = −√3, 0, √3. - Локальные экстремумы: максимум при x = −1, y = 2; минимум при x = 1, y = −2. - Точка перегиба: x = 0. - Функция возрастает на (-∞, −1) и (1, ∞), убывает на (−1, 1). - График не имеет ограничений по значению y (диапазон — все вещественные числа). Если нужно, могу привести пример задания типа: найти ординаты в точках перепада монотонности, построить приблизительный чертёж или решить уравнение y = x^3 − 3x = c для заданного c.