Задача Задача №3600237
А
А
y = x ^ 3 - 3x
Задача: разобрать функцию y = x^3 − 3x (цель: понять поведение функции).
Пошаговое решение и объяснения
- Факторизация и корни
- y = x^3 − 3x = x(x^2 − 3) = x(x − √3)(x + √3).
- Корни (где y = 0): x = 0, x = √3, x = −√3.
- Монотонность и критические точки (первая производная)
- dy/dx = 3x^2 − 3 = 3(x^2 − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
- Критические точки: x = −1 и x = 1.
- Анализ монотонности:
- На (-∞, −1): возрастание (возьмём x = −2 → dy/dx = 3(4 − 1) = 9 > 0).
- На (−1, 1): убывание (x = 0 → dy/dx = −3 < 0).
- На (1, ∞): возрастание (x = 2 → dy/dx = 9 > 0).
- Следовательно:
- локальный максимум при x = −1,
- локальный минимум при x = 1.
Значения в этих точках:
- y(−1) = (−1)^3 − 3(−1) = −1 + 3 = 2.
- y(1) = 1 − 3 = −2.
- Вторая производная и точки перегиба (вторая производная)
- y'' = d^2y/dx^2 = 6x.
- Точка перегиба (изменение знака выпуклости): x = 0.
- для x < 0 функция выпукла вниз (y'' < 0),
- для x > 0 выпукла вверх (y'' > 0).
- Значения в важных точках и нули
- Нули: x = 0, ±√3.
- Значения:
- y(0) = 0,
- y(√3) = (√3)^3 − 3√3 = 3√3 − 3√3 = 0,
- y(−√3) = −(√3)^3 + 3√3 = −3√3 + 3√3 = 0.
- Прочие примеры:
- y(−1) = 2 (локальный максимум),
- y(1) = −2 (локальный минимум).
- Свойства графика
- Функция является нечетной: y(−x) = −y(x). Это связано с тем, что все члены — нечётные степени (x^3 и −3x).
- Пределы и диапазон: так как старший член x^3 доминирует при больших |x|, и x^3 растет без ограничений, диапазон всей функции — все реальные числа. Пределы: y → ∞ при x → ∞; y → −∞ при x → −∞.
- График имеет S-образную форму: возрастает на −∞ до −1, достигает максимума 2 в x = −1, затем убывает до минимума −2 в x = 1, после этого вновь возрастает.
- Краткое резюме
- Корни: x = −√3, 0, √3.
- Локальные экстремумы: максимум при x = −1, y = 2; минимум при x = 1, y = −2.
- Точка перегиба: x = 0.
- Функция возрастает на (-∞, −1) и (1, ∞), убывает на (−1, 1).
- График не имеет ограничений по значению y (диапазон — все вещественные числа).
Если нужно, могу привести пример задания типа: найти ординаты в точках перепада монотонности, построить приблизительный чертёж или решить уравнение y = x^3 − 3x = c для заданного c.
