Корень из 11

Задача: корень из 11 (√11) Дано: ищем число, которое в квадрате даст приблизительно 11. 1) Определяем интервал - 3^2 = 9, 4^2 = 16 → 11 лежит между 9 и 16, значит √11 находится между 3 и 4. 2) Более точная оценка (могли бы использовать для проверки) - 3.3^2 = 10.89, меньше 11. - 3.4^2 = 11.56, больше 11. - Значит √11 лежит между 3.3 и 3.4. Это уже приближённая граница. 3) Улучшение приближённого значения методом Ньютона (показательный способ для точности) Метод Ньютона для корня из числа a: x_{n+1} = (x_n + a / x_n) / 2. - Возьмём начальное приближение x0 = 3.3 (из шага 2). - Вычисляем x1: x1 = (3.3 + 11 / 3.3) / 2 ≈ (3.3 + 3.3333) / 2 ≈ 3.31665 - Вычисляем x2: 11 / x1 ≈ 11 / 3.31665 ≈ 3.31662 x2 = (x1 + 11 / x1) / 2 ≈ (3.31665 + 3.31662) / 2 ≈ 3.316635 - Ещё разок для суммы: x3 ≈ (3.316635 + 11 / 3.316635) / 2 ≈ 3.31662479 4) Итог и проверка - Окончательное приближённое значение: √11 ≈ 3.31662479… Это число бесконечно десятичных и иррационально, т.е. точного десятичного окончания нет. - Проверка: 3.3166^2 ≈ 11.0000 (погрешность очень малая). Можно округлить до нужной точности, например: - до двух знаков после запятой: √11 ≈ 3.32 - до четырёх знаков после запятой: √11 ≈ 3.3166 Ответ - Точное выражение: √11 нельзя сократить до простого радикала более простого вида. - Приближённое значение: ≈ 3.3166 (или 3.32, если нужна две дробные цифры). Дополнительное замечание - Это число иррационально: его десятичное представление бесконечно без повторяющегося периода.