Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60° а радиус окружности равен…

Ответ: AO = 18.

Пошаговое решение и объяснение

• Обозначим касательные AB и AC, точки касания B и C на окружности с центром O и радиусом OB = OC = R = 9.

• Известно, что угол между касательными из одной внешней точки равен 180° минус центральный угол, охватывающий точки касания: ∠BAC = 180° − ∠BOC. Здесь ∠BAC = 60°, значит ∠BOC = 180° − 60° = 120°.

• Отсюда центральный угол BOC равен 120°. Линия AO является осью симметрии конфигурации (касательные из одной точки равноудалены, AB = AC), поэтому ∠AOB = ∠AOC = φ = ∠BOC/2 = 60°.

• Рассмотрим треугольник AOB: он прямоугольный в точке B (OB ⟂ AB), ∠AOB = φ = 60°, OB = R = 9, OA — гипотенуза.

  В таком прямоугольном треугольнике cos φ = adjacent/hypotenuse = OB/OA, следовательно OA = OB / cos φ = 9 / cos 60° = 9 / 0.5 = 18.

• Дополнительная проверка: AB = OA sin φ = 18 · sin 60° = 18 · √3/2 = 9√3, что согласуется с длиной касательной.

Краткая «рисунок» ASCII для наглядности (упрощённо; точки в масштабе не соблюдаются):

• O — центр
• B и C — точки касания, симметричны относительно AO
• A — точка, откуда проведены касательные AB и AC

Пример координат для удобства построения (если задавать координатную плоскость):

• O = (0, 0)
• R = 9
• A = (18, 0)
• B = (4.5, −7.794)
• C = (4.5, 7.794)

Геометрически это соответствует: OA = 18, угол между касательными BAC = 60°, радиус OB = OC = 9.

Если хочешь, могу приложить SVG-изображение или дать файл с чертежом для печати.