5. Упростить логическую функцию A^(A-> B)^(A<-> CB–) Упрощённый вид должен содержать не более трёх логических операций.
Задача: Упростить выражение A^(A-> B)^(A<-> CB–), где CB– трактуем как C ∧ ¬B. То есть F = A ∧ (A → B) ∧ (A ↔ (C ∧ ¬B)).
Пошаговое решение
Упростим первую часть: A ∧ (A → B) = A ∧ (¬A ∨ B). Применяем распределение: A ∧ (¬A ∨ B) = (A ∧ ¬A) ∨ (A ∧ B) = false ∨ (A ∧ B) = A ∧ B. Значит F = (A ∧ B) ∧ (A ↔ (C ∧ ¬B)).
Заметим, что в выражении (A ∧ B) нас уже есть A = истинно (поскольку A входит в первый конъюнкт). Для случая, когда A истинно, biconditional A ↔ X становится эквивалентен X (потому что A истинно, и A ↔ X истинно тогда, когда X истинно). Следовательно, при наличии A ∧ B мы можем заменить (A ↔ (C ∧ ¬B)) на (C ∧ ¬B).
Поэтому F ≡ (A ∧ B) ∧ (C ∧ ¬B) = A ∧ B ∧ C ∧ ¬B.
Заметим, что B ∧ ¬B = false. Следовательно F ≡ A ∧ (B ∧ ¬B) ∧ C ≡ A ∧ false ∧ C ≡ false.
Вывод
- Упрощённое выражение эквивалентно логической операции “ложь” (0, ⊥). То есть F = 0 для любых значений A, B, C.
Замечание по обозначениям
- В исходном выражении CB– трактовано как C ∧ ¬B. Если трактовка другой, результат может меняться, но при стандартном прочтении A ∧ (A → B) всегда вместе с (A ↔ (C ∧ ¬B)) приводит к противоречию и нулю.
