Как доказать что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Задача: как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть AI, BI и CI — внутренние биссектрисы углов A, B и C соответственно. Два доказательства concurrency (одной точки) биссектрис: 1) Доказательство через расстояния до сторон (инцентр) - Свойство: точка, лежащая на биссектрисе угла, равномерно расположена по отношению к двум сторонам, образующим этот угол. То есть если точка X лежит на биссектрисе ∠A, то d(X, AB) = d(X, AC), где d(·,·) — расстояние до прямой. - Пусть I — точка пересечения двух биссектрис: AI и BI. - Так как I лежит на AI, имеем d(I, AB) = d(I, AC). - Так как I лежит на BI, имеем d(I, AB) = d(I, BC). - Следовательно d(I, AC) = d(I, BC). Это значит, что I равноудалён от прямых AC и BC, т.е. лежит на биссектрисе угла C (линия CI). - Значит CI тоже проходит через точку I. Итак, биссектрисы AI, BI и CI сходятся в одной точке (центре вписанной окружности треугольника, инцентре). Дополнительная интерпретация: получившись точка I является центром вписанной окружности треугольника, так как она равноудалена от всех трёх сторон. 2) Доказательство через теорему Ceva (конкурренция по формулам) - Пусть D, E, F — точки пересечения биссектрис AI, BI, CI с противоположными сторонами BC, CA, AB соответственно. - По биссекторной теореме: - BD/DC = AB/AC, - AE/EC = AB/BC, - AF/FB = AC/BC. - Применим теорему Ceva к трём линиям AI, BI и CI: (BD/DC) · (CE/EA) · (AF/FB) = 1. - Подставляем обратные значения из биссекторных пропорций (заменим CE/EA на BC/AB, AF/FB на AC/BC): (AB/AC) · (BC/AB) · (AC/BC) = 1. - Получаем равенство 1 = 1, следовательно AI, BI и CI действительно сходятся в одной точке. Вывод Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта общая точка называется инцентром треугольника и является центром вписанной окружности (окружности, касающейся всех трёх сторон). Этот факт верен для внутренних биссектрис; внешние биссектрисы тоже могут пересекаться друг с другом в других точках (эксцентеры), но для внутренних — именно в одной общей точке.