прямоугольник периметра 200 разрезали на шесть одинаковых прямоугольников сумма длин всех разрезов 140 чему равен периметр каждого из шести полученных прямоугольников
Дано: большой прямоугольник с периметром 200, значит W + H = 100 (W — ширина, H — высота).
Ещё сказано, что его разрезали на шесть одинаковых прямоугольников. Это значит, что большой прямоугольник разбивается на сетку r × c, где r · c = 6 (например, 1×6, 2×3, 3×2, 6×1 и т. п.). При этом есть (r − 1) горизонтальных разрезов длиной W и (c − 1) вертикальных разрезов длиной H. Сумма длин разрезов дано равна 140:
(р − 1)W + (c − 1)H = 140.
Каждый маленький прямоугольник имеет размеры W/c по ширине и H/r по высоте, значит его периметр:
P = 2(W/c + H/r).
Раскроем P через W и H. Заметим, что
P = 2(W/c + H/r) = 2/(cr) · (rW + cH).
Используем два известных уравнения:
- W + H = 100
- (r − 1)W + (c − 1)H = 140
Посчитаем rW + cH через эти уравнения. Выразим rW + cH как r(W + H) + (c − r)H = 100r + (c − r)H. Из второго уравнения:
(r − 1)W + (c − 1)H = 140 ⇒ 100(r − 1) − (r − 1)H + (c − 1)H = 140 ⇒ 100(r − 1) + (c − r)H = 140 ⇒ (c − r)H = 140 − 100(r − 1) = 240 − 100r.
Тогда H = (240 − 100r)/(c − r). Подставим в expression для rW + cH:
rW + cH = 100r + (c − r)H = 100r + (c − r) · (240 − 100r)/(c − r) = 100r + 240 − 100r = 240.
Следовательно,
P = 2/(cr) · (rW + cH) = 2/(cr) · 240.
Так как r · c = 6 (6 маленьких прямоугольников), получаем
P = 2/6 · 240 = 480/6 = 80.
Ответ: периметр каждого из шести полученных прямоугольников равен 80 (единиц измерения той же системы, что и исходные данные).
Замечание: независимо от того, какая именно раскладка сетки (1×6, 2×3, 3×2 или 6×1) используется, результат одинаков.
