1. На рисунке AB = 4, BE = 8, DE = 5, прямая AB перпендикулярна прямой BD, CD перпендикулярна BD и ЕА перпендикулярна ЕС. Найдите CD.

Дано (предположительная расстановка, типичная для таких задач): BD – ось x, AB и CD перпендикулярны BD, поэтому AB и CD — параллельны друг другу. E лежит на BD так, что BE = 8, DE = 5, значит BD = BE + DE = 13. Также AB = 4, т.е. высота AB над BD равна 4.

Зададим координаты:

• B = (0, 0)
• D = (13, 0)
• A = (0, 4) (так как AB ⟂ BD и AB = 4)
• C = (13, h) (так как CD ⟂ BD и CD = h — искомая величина)
• E лежит на BD в точке на расстоянии 8 от B, значит E = (8, 0)

Условие EA ⟂ EC (ЕС в задаче трактуется как EC): вектор EA = A − E = (0 − 8, 4 − 0) = (−8, 4), вектор EC = C − E = (13 − 8, h − 0) = (5, h). Перпендикулярность означает скалярное произведение ноль: (−8, 4) · (5, h) = −8·5 + 4·h = 0 −40 + 4h = 0 → h = 10.

Так что CD = h = 10.

Ответ: CD = 10.