Число A является суммой квадратов трех последовательных натуральных чисел. Найдите остаток от деления числа A на 3.

Задача: Число A является суммой квадратов трех последовательных натуральных чисел. Найдите остаток от деления A на 3. Пошаговое решение: 1) Обозначим три последовательных натуральных числа как n, n+1, n+2, где n ∈ N. Тогда A = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2. 2) Раскроем скобки: A = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 3n^2 + 6n + 5. 3) Найдём остаток по модулю 3: 3n^2 ≡ 0 (mod 3), 6n ≡ 0 (mod 3), 5 ≡ 2 (mod 3). Следовательно, A ≡ 0 + 0 + 2 ≡ 2 (mod 3). Ответ: остаток от деления A на 3 равен 2. Проверочный пример: возьмём n = 1 — тройка чисел 1, 2, 3. Их квадраты: 1, 4, 9, сумма = 14, 14 mod 3 = 2. Так же подтверждает вывод.