Составь взаимообратные задачи по кратким записям

Отлично. Ниже приведу набор готовых взаимнообратных задач по типичным кратким записям (формула/соотношение). Для каждой записи — инвертированная задача (дать результат, найти входные данные) и подробное пошаговое решение. Это поможет понять принцип построения таких задач и их решения. Если хочешь другие предметы или другой уровень сложности, скажи — подготовлю под твой учебник.

1. Краткая запись: S = a · b (площадь прямоугольника)

• Взаимообратная задача: Dаны S = 24 и a = 6. Найди b.
• Решение:
  1. Сформулируем отношение: S = a · b.
  2. Подставим известные: 24 = 6 · b.
  3. Найдём b: b = 24 / 6 = 4.
  4. Проверка: 6 · 4 = 24, верно.
• Пояснение: здесь задача об обратной зависимости — зная произведение и один множитель, найдём второй.

2. Краткая запись: P = 2 · (a + b) (периметр прямоугольника)

• Взаимообратная задача: Dаны P = 18 и a = 4. Найди b.
• Решение:
  1. P = 2(a + b) ⇒ 18 = 2(4 + b).
  2. Разделим обе стороны на 2: 9 = 4 + b.
  3. Найдём b: b = 9 − 4 = 5.
  4. Проверка: 2(4 + 5) = 18, верно.
• Пояснение: обратная задача состоит в том, чтобы решить линейное уравнение относительно неизвестного b.

3. Краткая запись: m = (x1 + x2)/2 (среднее арифметическое двух чисел)

• Взаимообратная задача: Dаны m = 7 и x1 = 9. Найди x2.
• Решение:
  1. m = (x1 + x2)/2 ⇒ 7 = (9 + x2)/2.
  2. Умножим на 2: 14 = 9 + x2.
  3. Найдём x2: x2 = 14 − 9 = 5.
  4. Проверка: (9 + 5)/2 = 14/2 = 7, верно.
• Пояснение: известно среднее и один элемент, ищем второй.

4. Краткая запись: y = 3x + 5 (линейное уравнение)

• Взаимообратная задача: Dаны y = 20. Найди x.
• Решение:
  1. y = 3x + 5 ⇒ 20 = 3x + 5.
  2. Вычтем 5: 15 = 3x.
  3. Разделим на 3: x = 5.
  4. Проверка: 3·5 + 5 = 15 + 5 = 20, верно.
• Пояснение: прямой зависимости x от y; обратная задача решает линейное уравнение.

5. Краткая запись: V = π r^2 h (объём цилиндра)

• Взаимообратная задача: Dаны V = 314 см^3 и r = 3 см. Найди h.
• Решение:
  1. V = π r^2 h ⇒ 314 = π · 3^2 · h = π · 9 · h.
  2. Разделим на (π · 9): h = 314 / (π · 9).
  3. Приближённое значение: π ≈ 3.1416, π · 9 ≈ 28.274, h ≈ 314 / 28.274 ≈ 11.1 см.
  4. Проверка по формуле: π·9·11.1 ≈ 28.274·11.1 ≈ 314, верно.
• Пояснение: обратная задача — найти неизвестную высоту цилиндра по бесконечному кругу площади основания и объёма.

6. Краткая запись: F = m a (вторая законом Ньютона)

• Взаимообратная задача: Dаны F = 50 Н и m = 10 кг. Найди a.
• Решение:
  1. F = m a ⇒ 50 = 10 · a.
  2. Разделим на 10: a = 5 м/с^2.
  3. Проверка: m a = 10 · 5 = 50 Н, верно.
• Пояснение: обратная задача — найти ускорение по известной силе и массе.

7. Краткая запись: ρ = m / V (плотность)

• Взаимообратная задача: Dаны ρ = 2 г/см^3 и m = 120 г. Найди V.
• Решение:
  1. ρ = m / V ⇒ 2 = 120 / V.
  2. Умножим обе стороны на V: 2V = 120.
  3. V = 120 / 2 = 60 см^3.
  4. Проверка: m / V = 120 / 60 = 2, верно.
• Пояснение: найти объём по массе и плотности.

8. Краткая запись: s = v t + (1/2) a t^2 (равнётный закон движения)

• Взаимообратная задача: Dаны s = 60 м, v = 5 м/с, a = 2 м/с^2. Найди t.
• Решение:
  1. Подставим в формулу: 60 = 5 t + (1/2)·2·t^2 = 5t + t^2.
  2. Перенесём всё в одну сторону: t^2 + 5t − 60 = 0.
  3. Решим квадратное уравнение: D = 25 + 240 = 265; t = [-5 ± sqrt(265)]/2.
  4. sqrt(265) ≈ 16.279; положительное корень: t ≈ (-5 + 16.279)/2 ≈ 11.279/2 ≈ 5.64 s.
  5. Отрицательное решение не берём для физического времени.
• Пояснение: обратная задача — решить квадратное уравнение относительно времени.

9. Краткая запись: P = m g (вес)

• Взаимообратная задача: Dаны P = 9.81 Н и g = 9.81 м/с^2. Найди m.
• Решение:
  1. P = m g ⇒ m = P / g = 9.81 / 9.81 = 1 кг.
  2. Проверка: m g = 1 · 9.81 = 9.81 Н, верно.
• Пояснение: обратная задача — найти массу по весу и ускорению свободного падения.

Как работать с такими задачами в целом

• Определяй исходную краткую запись как зависимость между переменными: y = f(x1, x2, ...). Взаимообратная задача ставит цель найти значения входных переменных по известному результату y и (частично) известным входам.
• Обычно достаточно:
  • записать формулу;
  • подставить известные данные;
  • решить получившееся уравнение относительно искомой переменной;
  • проверить, что полученное значение удовлетворяет исходной записи.
• Если задача неоднозначна (например, в s = vt + 1/2 at^2 может дать два временных корня), укажи, какой корень физически допустим (обычно положительный).

Если хочешь, могу сгенерировать взаимнообратные задачи по твоим реальным кратким записям или по конкретному предмету (математика, физика, химия и т. п.) и подобрать уровень сложности под твой класс. Пришли свои краткие заметки, и я сразу дам набор взаимнообратных задач с подробными решениями.