Задача: вычислить угол между биссектрисами двух смежных углов.
Допустим, на одной точке O лежат три луча OA, OB, OC в таком порядке вокруг точки. Пусть:
- α = ∠AOB — первый смежный угол,
- β = ∠BOC — второй смежный угол.
Пусть l1 — биссектриса ∠AOB, a l2 — биссектриса ∠BOC.
Пошаговое решение:
- Биссектриса каждого угла делит его пополам. Значит:
- л1 образует угол α/2 с лучами OA и OB,
- л2 образует угол β/2 с лучами OB и OC.
- Определим углы направления биссектрис относительно луча OA:
- направление l1: через OA повернуто на α/2 к OB, т.е. угол от OA до l1 равен α/2.
- направление l2: л2 лежит внутри угла BOC, поэтому от OA до OC путь равен α + β; биссектриса l2 отклоняется от OA на α + β/2.
- Разность направлений даёт угол между биссектрисами:
Угол между l1 и l2 = (α + β/2) − (α/2) = α/2 + β/2 = (α + β)/2.
Итак, угол между биссектрисами двух смежных углов равен (∠AOB + ∠BOC) / 2.
Примечание: это значение даёт один из двух возможных углов между двумя линиями. Обычно берут меньшую величину:
кратчайший угол между биссектрисами = min((α+β)/2, 180° − (α+β)/2).
Если α + β ≤ 180°, то кратчайший угол равен (α+β)/2.
Пример:
Пусть α = 40°, β = 70°. Тогда угол между биссектрисами = (40° + 70°)/2 = 55°.
Ещё пример на случай, когда α+β > 180°: пусть α = 120°, β = 80°. Тогда (α+β)/2 = 100°, но кратчайший угол между биссектрисами = 180° − 100° = 80°.
