Выберите верный или верные ответы. Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD…
Выберите верный или верные ответы. Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6, BC=CD=10, AD=16, АC=14. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность». Свойство равнобедренного треугольника Теорема косинусов Формулы приведения Табличные значения косинуса острого угла в 30 градусов Признаки равенства треугольников
Задача: доказать, что около выпуклого четырехугольника ABCD можно описать окружность (то есть ABCD – циклая).
Пошаговое решение (пояснения для понимания)
- Данные: AB = 6, BC = 10, CD = 10, AD = 16, AC = 14.
- Рассчитаем угол B в треугольнике ABC (стороны вокруг точки B: AB и BC; противоположная сторона – AC). По теореме косинусов: cos(B) = (AB^2 + BC^2 − AC^2) / (2·AB·BC) = (6^2 + 10^2 − 14^2) / (2·6·10) = (36 + 100 − 196) / 120 = −60/120 = −1/2. Значит B = arccos(−1/2) = 120°.
- Рассчитаем угол D в треугольнике ADC (стороны вокруг точки D: AD и DC; противоположная сторона – AC). По теореме косинусов: cos(D) = (AD^2 + DC^2 − AC^2) / (2·AD·DC) = (16^2 + 10^2 − 14^2) / (2·16·10) = (256 + 100 − 196) / 320 = 160/320 = 1/2. Значит D = arccos(1/2) = 60°.
- Opposite углы B и D: B + D = 120° + 60° = 180°.
- Свойство: в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180° тогда и только тогда, когда четырехугольник круголист (циклен) и вокруг него можно описать окружность. Поскольку B и D supplementary, ABCD – циклая.
Итого: окружность вокруг ABCD существует.
Ответ на вопрос о теоретических фактах (какие теоретические положения можно использовать)
Верные факты из списка, которые применяются в решении:
- Теорема косинусов — да. Используется для вычисления углов B и D по заданным сторонам.
- Формулы приведения — да. Нужно знание того, что cos(180° − x) = −cos x и что cos 60° = 1/2, cos 120° = −1/2; эти сведения позволяют определить, что B = 120° и D = 60°.
Не являются необходимыми или напрямую неиспользуемыми в этом решении:
- Свойство равнобедренного треугольника — не применяется здесь (ни один из треугольников ABC или ADC не является равнобедренным по данным сторонам).
- Признаки равенства треугольников — не требуются для данного доказательства.
- Табличные значения косинуса острого угла в 30 градусов — не напрямую нужны для вычислений в этой задаче (мы используем косинусы 60° и 120°). Однако общие табличные значения косинусов могут быть полезны при распознавании углов, если такие значения возникают; в самой задаче конкретно данная запись про 30° не применяется напрямую.
