алгебра: 1.свойства степеней с действительным показателем 2.свойства логарифмов 3.тригонометрические формулы 4.значение тригонометрических функций геометрия: 1. формулы площадей…

Ниже собраны основные формулы по вашим разделам. Если нужно — могу расширить конкретный раздел или привести примеры с числами.

1. Алгебра

A) Свойства степеней с действительным показателем

• Основание > 0: a > 0
• a^0 = 1
• a^x · a^y = a^{x+y}
• (a^x)^y = a^{xy}
• (ab)^x = a^x · b^x (для a > 0, b > 0)
• a^x / a^y = a^{x−y}
• a^{−x} = 1 / a^x
• a^x > 0
• При дробном показателе x = m/n (в радикале): a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = n-я корень из a^m; определено для a > 0
• Примечание: для отрицательного основания и произвольного действительного показателя формулы в действительной области не работают; определяются лишь частные случаи (например, рациональные x с нечетным знаменателем).

B) Свойства логарифмов (основание b > 0, b ≠ 1)

• log_b(xy) = log_b x + log_b y
• log_b(x/y) = log_b x − log_b y
• log_b(x^k) = k · log_b x
• log_b b^x = x
• b^{log_b x} = x
• log_b 1 = 0
• log_b b = 1
• Обмен оснований: log_b x = (ln x) / (ln b) = log_k x / log_k b
• Область: x > 0; b > 0, b ≠ 1
• Прямые свойства обратной функции: если y = log_b x ⇔ b^y = x

C) Тригонометрические формулы (краткий набор)

• sin^2 x + cos^2 x = 1
• 1 + tan^2 x = sec^2 x
• 1 + cot^2 x = csc^2 x
• Сумма/разность углов:
  • sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
  • cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
  • tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)
• Двойной угл:
  • sin 2x = 2 sin x cos x
  • cos 2x = cos^2 x − sin^2 x = 2 cos^2 x − 1 = 1 − 2 sin^2 x
  • tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x)
• Полупериод и тождественные преобразования:
  • sin^2 x = (1 − cos 2x) / 2
  • cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2
• Отношения между основными функциями:
  • tan x = sin x / cos x
  • cot x = cos x / sin x
  • sec x = 1 / cos x
  • csc x = 1 / sin x
• Дополнительно:
  • sin 3x = 3 sin x − 4 sin^3 x
  • cos 3x = 4 cos^3 x − 3 cos x
  • tan 3x = (3 tan x − tan^3 x) / (1 − 3 tan^2 x)
  • Промежуточные: sin^2(x/2) = (1 − cos x)/2; cos^2(x/2) = (1 + cos x)/2
  • Продукто-по-разности: sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] / 2; cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] / 2; sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x − y)] / 2

D) Значение тригонометрических функций (основные углы)

• В градусах (A, sin, cos, tan):
  • 0°: sin 0 = 0, cos 0 = 1, tan 0 = 0
  • 30°: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3
  • 45°: sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tan 45° = 1
  • 60°: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3
  • 90°: sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° = undefined
• В радианах:
  • 0, π/6, π/4, π/3, π/2 соответствуют тем же значениям
• Знаки по квадрантам:
  • I: sin>0, cos>0, tan>0
  • II: sin>0, cos<0, tan<0
  • III: sin<0, cos<0, tan>0
  • IV: sin<0, cos>0, tan<0
• Сигнальные правила: sin(−x) = −sin x; cos(−x) = cos x; tan(−x) = −tan x

2. Геометрия

A) Формулы площадей (площадь фигуры)

• Площадь квадрата: S = a^2
• Площадь прямоугольника: S = a · b
• Площадь параллелограмма: S = основание × высота = b · h; или S = a · b · sin θ (где θ — угол между двумя сторонами a и b)
• Площадь треугольника:
  • S = (1/2) · base · height
  • S = (1/2) · a · b · sin C (где a и b — соседние стороны, C — угол между ними)
• Площадь трапеции: S = (a + b) / 2 · h (где a, b — основания, h — высота)
• Площадь ромба: S = (d1 · d2) / 2 (диагонали d1 и d2)
• Площадь круга: S = π r^2 (r — радиус)
• Площадь сектора круга: S_sector = (θ / 2π) · π r^2 = (θ · r^2) / 2, если θ в радианах; в градусах: S = (θ / 360) · π r^2
• Площадь эллипса: S = π a b (a и b — полуоси)
• Площадь правильного n-угольника:
  • через сторону a: S = (n · a^2) / (4 · tan(π/n)) = (1/4) · n · a^2 · cot(π/n)
  • через радиус R (циркумцентр): S = (n/2) · R^2 · sin(2π/n)
• Площадь треугольника по двум сторонам и Included-углу: S = (1/2) · a · b · sin C (уже указано выше)
• Примечание: формулы можно адаптировать под известные данные (площадь через высоту, диагонали, апофему и пр.)

Если хотите, могу сделать компактный шпаргалку в одном файле, привести примеры с конкретными числами или сфокусироваться на конкретной теме (например, только свойства степеней и логарифмов, или только формулы площадей для геометрии). Хотите уточнить формат или добавить дополнительные разделы (например, тригонометрические коэффициенты, двойной угол для степеней, или задачи на преобразование тригонометрических выражений)?