Алгебра: 1.свойства степеней с действительным показателем 2.свойства логарифмов 3.тригонометрические формулы 4.значение тригонометрических функций геометрия: 1. формулы площадей (Распиши мне все формулы )

Ниже собраны основные формулы по вашим разделам. Если нужно — могу расширить конкретный раздел или привести примеры с числами. 1) Алгебра A) Свойства степеней с действительным показателем - Основание > 0: a > 0 - a^0 = 1 - a^x · a^y = a^{x+y} - (a^x)^y = a^{xy} - (ab)^x = a^x · b^x (для a > 0, b > 0) - a^x / a^y = a^{x−y} - a^{−x} = 1 / a^x - a^x > 0 - При дробном показателе x = m/n (в радикале): a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = n-я корень из a^m; определено для a > 0 - Примечание: для отрицательного основания и произвольного действительного показателя формулы в действительной области не работают; определяются лишь частные случаи (например, рациональные x с нечетным знаменателем). B) Свойства логарифмов (основание b > 0, b ≠ 1) - log_b(xy) = log_b x + log_b y - log_b(x/y) = log_b x − log_b y - log_b(x^k) = k · log_b x - log_b b^x = x - b^{log_b x} = x - log_b 1 = 0 - log_b b = 1 - Обмен оснований: log_b x = (ln x) / (ln b) = log_k x / log_k b - Область: x > 0; b > 0, b ≠ 1 - Прямые свойства обратной функции: если y = log_b x ⇔ b^y = x C) Тригонометрические формулы (краткий набор) - sin^2 x + cos^2 x = 1 - 1 + tan^2 x = sec^2 x - 1 + cot^2 x = csc^2 x - Сумма/разность углов: - sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β - cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β - tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β) - Двойной угл: - sin 2x = 2 sin x cos x - cos 2x = cos^2 x − sin^2 x = 2 cos^2 x − 1 = 1 − 2 sin^2 x - tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x) - Полупериод и тождественные преобразования: - sin^2 x = (1 − cos 2x) / 2 - cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2 - Отношения между основными функциями: - tan x = sin x / cos x - cot x = cos x / sin x - sec x = 1 / cos x - csc x = 1 / sin x - Дополнительно: - sin 3x = 3 sin x − 4 sin^3 x - cos 3x = 4 cos^3 x − 3 cos x - tan 3x = (3 tan x − tan^3 x) / (1 − 3 tan^2 x) - Промежуточные: sin^2(x/2) = (1 − cos x)/2; cos^2(x/2) = (1 + cos x)/2 - Продукто-по-разности: sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] / 2; cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] / 2; sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x − y)] / 2 D) Значение тригонометрических функций (основные углы) - В градусах (A, sin, cos, tan): - 0°: sin 0 = 0, cos 0 = 1, tan 0 = 0 - 30°: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3 - 45°: sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tan 45° = 1 - 60°: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3 - 90°: sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° = undefined - В радианах: - 0, π/6, π/4, π/3, π/2 соответствуют тем же значениям - Знаки по квадрантам: - I: sin>0, cos>0, tan>0 - II: sin>0, cos<0, tan<0 - III: sin<0, cos<0, tan>0 - IV: sin<0, cos>0, tan<0 - Сигнальные правила: sin(−x) = −sin x; cos(−x) = cos x; tan(−x) = −tan x 2) Геометрия A) Формулы площадей (площадь фигуры) - Площадь квадрата: S = a^2 - Площадь прямоугольника: S = a · b - Площадь параллелограмма: S = основание × высота = b · h; или S = a · b · sin θ (где θ — угол между двумя сторонами a и b) - Площадь треугольника: - S = (1/2) · base · height - S = (1/2) · a · b · sin C (где a и b — соседние стороны, C — угол между ними) - Площадь трапеции: S = (a + b) / 2 · h (где a, b — основания, h — высота) - Площадь ромба: S = (d1 · d2) / 2 (диагонали d1 и d2) - Площадь круга: S = π r^2 (r — радиус) - Площадь сектора круга: S_sector = (θ / 2π) · π r^2 = (θ · r^2) / 2, если θ в радианах; в градусах: S = (θ / 360) · π r^2 - Площадь эллипса: S = π a b (a и b — полуоси) - Площадь правильного n-угольника: - через сторону a: S = (n · a^2) / (4 · tan(π/n)) = (1/4) · n · a^2 · cot(π/n) - через радиус R (циркумцентр): S = (n/2) · R^2 · sin(2π/n) - Площадь треугольника по двум сторонам и Included-углу: S = (1/2) · a · b · sin C (уже указано выше) - Примечание: формулы можно адаптировать под известные данные (площадь через высоту, диагонали, апофему и пр.) Если хотите, могу сделать компактный шпаргалку в одном файле, привести примеры с конкретными числами или сфокусироваться на конкретной теме (например, только свойства степеней и логарифмов, или только формулы площадей для геометрии). Хотите уточнить формат или добавить дополнительные разделы (например, тригонометрические коэффициенты, двойной угол для степеней, или задачи на преобразование тригонометрических выражений)?