в треугольнике CQD известно что угол С =90 градусов угол Q=30 градусов отрезок DK биссектриса треуголника найдите катет QC если DC=40см
Задача: в треугольнике CQD угол C = 90°, угол Q = 30°, DK — биссектриса угла D, найдите катет QC, если DC = 40 см.
Пошаговое решение:
Определяем угол D. Так как сумма углов треугольника равна 180°, и угол C = 90°, угол Q = 30°, то угол D = 180° − 90° − 30° = 60°.
Треугольник CQD — это 30°-60°-90° прямо-угольный. Стороны пропорциональны отношению:
- против угла 30°: 1
- против угла 60°: √3
- гипотенуза: 2 Эти пропорции можно умножить на общий множитель k.
Угол при Q равен 30°, следовательно сторона CD противоположна этому углу и равна k·1. По условию CD = DC = 40 см, значит k = 40.
Тогда QC = k·√3 = 40·√3 см.
Альтернативный краткий подход через тригонометрию:
- CD противоположен углу Q (30°), значит sin(30°) = CD / QD ⇒ QD = CD / sin(30°) = 40 / (1/2) = 80.
- QC является смежной стороной к углу Q в гипотенузе QD: QC = QD·cos(30°) = 80 · (√3/2) = 40√3.
Ответ: QC = 40√3 см ≈ 69,3 см.
Примечание: DK — биссектриса угла D и не влияет напрямую на вычисление QC; можно проверить через теорему биссектора: CK/KQ = CD/DQ = 40/80 = 1/2, что согласуется с полученным QC, но для нахождения QC она не нужна.
