Даны два прямоугольных треугольника треугольник ABC, треугольник ADC, AC–биссектриса угол BAC=35°. доказать: треугольник ADC. найти угол BDC

Рассмотрим удобную интерпретацию условия:

• Даны два прямоугольных треугольника ABC и ADC,共 AC — общая гипотенуза, прямые углы при B и при D.
• AC является биссектрисой угла BAD, т.е. ∠BAC = ∠CAD.
• Дано: ∠BAC = 35°. Тогда ∠CAD тоже равно 35°, и ∠BAD = 70°.

Цель: найти угол ∠BDC.

Пошаговое решение:

1. Найдём углы треугольников ABC и ADC.

• В треугольнике ABC (прямоугольный при B) сумма углов: ∠A + ∠C = 90°. Здесь ∠A = ∠BAC = 35°, значит ∠ACB = 90° − 35° = 55°.
• В треугольнике ADC (прямоугольный при D) сумма углов: ∠A + ∠C = 90°. Здесь ∠A = ∠CAD = 35°, значит ∠ACD = 90° − 35° = 55°.

2. Отношения сторон через синус в этих треугольниках.

• В треугольнике ABC: sin ∠A = BC/AC, значит BC = AC · sin 35°.
• В треугольнике ADC: sin ∠A = DC/AC, значит DC = AC · sin 35°.

Из этого BC = DC.

3. Угол ∠BCD в треугольнике BCD.

• Угол при C между BC и CD равен сумме двух углов, образованных каждой из этих сторон с CA, так как B и D лежат по разные стороны от AC: ∠ACB = 55° и ∠ACD = 55°, поэтому ∠BCD = 55° + 55° = 110°.

4. Найдём требуемый угол ∠BDC.

• В треугольнике BCD стороны BC и DC равны (BC = DC), значит треугольник BCD — равнобедренный; углы при B и D равны.
• Сумма углов треугольника равна 180°, значит: ∠CBD = ∠BDC = (180° − ∠BCD)/2 = (180° − 110°)/2 = 70°/2 = 35°.

Ответ: ∠BDC = 35°.

Дополнение по проверке: углы при B в треугольнике BCD действительно получаются равными 35°, и они совпадают с величиной ∠BAC, что согласуется с симметрией конфигурации, где BC = DC и углы при C равны 110°.