Расстояние от центра О до хорды АВ равно 15 см, ∠ ОАВ = 45º. Точка С принадлежит хорде АВ, причем АС=4ВС. Найти длину отрезка АС.

Задача: расстояние от центра O до хорды AB равно 15 см, ∠OAB = 45°. Точка C лежит на хорде AB и AC = 4·BC. Найти AC.

Решение по шагам:

1. Обозначим H – проекцию точки O на хорду AB (то есть OH перпендикулярно AB). Тогда OH = расстояние от центра до хорды = 15 см.

2. Свойство хорды: перпендикуляр OH к хорде AB проходит через её середину. Значит H — середина хорды AB, и AH = HB = AB/2.

3. Так как ∠OAB = 45°, тогда угол ∠OAH тоже равен 45° (AB и AH лежат на одной прямой). В треугольнике OAH есть прямой угол в H (OH ⟂ AB), поэтому этот треугольник — прямоугольный с углами 45° и 45°. Следовательно OH = AH.

4. Из шага 2 и 3 следует AH = OH = 15 см. Значит AB/2 = 15, откуда AB = 30 см.

5. Поскольку C лежит на хорде AB и AC = 4 BC, запишем AB = AC + BC и AC = 4 BC. Пусть BC = x, тогда AC = 4x и AB = 5x. Имеем 5x = 30, значит x = 6, а следовательно AC = 4x = 24.

Ответ: AC = 24 см.