окружность с центром O O и радиусом R = 5 см R=5 см; из точки A A проведены касательные A B AB и A C AC, где B B и C C — точки касания; A B = 5 3 см AB=5 3 см. Требуется найти: ∠…

Решение задачи

Даны: окружность с центром O и радиусом R = 5 см. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности в точках касания B и C. Дана длина касательной AB = 5√3 см. Нужно найти угол ∠BAC.

Ключевые факты

• Из одной внешней точки касательные к окружности равны: AB = AC.
• OB ⟂ AB и OC ⟂ AC, поэтому треугольники AOB и AOC — прямоугольные в точках B и C соответственно.
• AO является бисектором угла ∠BAC (симметрия относительно оси AO).

Пошаговое решение

1. Обозначим данные:

• AB = AC = 5√3 см, OB = OC = R = 5 см.

2. Найдём AO по теореме Пифагора в треугольнике AOB (прямоугольном в B):

• AO^2 = AB^2 + OB^2 = (5√3)^2 + 5^2 = 75 + 25 = 100.
• AO = 10 см.

3. Найдём угол ∠BAO в треугольнике AOB. Это угол между AB и AO.

• В треугольнике AOB гипотенуза AO = 10, противолежащий OB = 5.
• sin(∠BAO) = OB / AO = 5 / 10 = 1/2 → ∠BAO = 30°.

4. Угол ∠BAC является удвоением ∠BAO, поскольку AO — биссектор угла между касательными AB и AC:

• ∠BAC = 2 · ∠BAO = 2 · 30° = 60°.

Илья-альтернативное объяснение (проверка):

• В треугольнике AOB угол при O равен ∠AOB = 60° (поскольку синус ∠BAO = 1/2 даёт ∠BAO = 30°, следовательно ∠AOB = 90° − 30° = 60°).
• Аналогично ∠AOC = 60°. Тогда ∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 120°.
• Угол между касательными: ∠BAC = 180° − ∠BOC = 60°. Оба подхода дают одно и то же значение.

Ответ: ∠BAC = 60°.