в треугольнике авс биссектриса cn и высота bh они пересекаются в 80 градусах найдите угол bac,если abh и cbh равно как 1:2

Итак, обозначим углы треугольника ABC:

• ∠A = ∠BAC
• ∠B = ∠ABC
• ∠C = ∠ACB

Даны BH — высота из B на AC, так что BH ⟂ AC. CN — биссектриса угла C (CN выходит на AB).

1. Выразим ABH и CBH через A и C

• ABH — угол между BA и BH. Поскольку BH ⟂ AC, угол между BA и BH равен 90° − ∠A. Значит ABH = 90° − ∠A.
• CBH — угол между BC и BH. Аналогично CBH = 90° − ∠C.

По условию ABH : CBH = 1 : 2. Обозначим ABH = x, CBH = 2x. Тогда:

• 90° − ∠A = x ⇒ ∠A = 90° − x
• 90° − ∠C = 2x ⇒ ∠C = 90° − 2x

2. Используем угол между CN и BH CN — биссектор угла C, значит угол между CN и CA равен ∠C/2. Так как BH ⟂ AC, угол между CN и BH равен 90° − ∠(CN, CA) = 90° − ∠C/2.

Дано, что BH и CN пересекаются под углом 80°, значит: 90° − ∠C/2 = 80° ⇒ ∠C/2 = 10° ⇒ ∠C = 20°.

3. Найдём x и ∠A Из ранее полученного ∠C = 90° − 2x получаем: 20° = 90° − 2x ⇒ 2x = 70° ⇒ x = 35°.

Тогда ∠A = 90° − x = 90° − 35° = 55°.

Проверка: ∠B = 180° − (∠A + ∠C) = 180° − (55° + 20°) = 105°. ABH = 90° − ∠A = 35°, CBH = 90° − ∠C = 70°; соотношение 35:70 = 1:2, как дано.

Ответ: угол ∠BAC = 55°.