Треугольник ABC из точки C проведена биссектриса CN и высота Bh они пересекаются под углом 65° найти BAC если ABH : CBH=1:4 ответ дайте в градусах

Ответ: 80°

Пошаговое решение

Дано:

• В треугольнике ABC проведены высота BH (H —проекция B на AC) и биссектриса CN при C.
• Их угол пересечения равен 65°.
• Отношение углов ABH к CBH: ABH : CBH = 1 : 4, где ABH и CBH — углы при B между BH и BA/BC соответственно.

1. Выражения ABH и CBH через A и C

• BH ⟂ AC, значит угол между AB и BH равен 90° минус угол между AB и AC. Угол между AB и AC равен углу A (∠BAC). Поэтому ABH = 90° − A.
• Аналогично угол CBH = 90° − C (угол между CB и BH = угол между CB и AC, но с перпендикулярной BH).

Из условия ABH : CBH = 1 : 4 получаем (90° − A) : (90° − C) = 1 : 4 ⟹ (90° − A) / (90° − C) = 1/4. ... (1)

2. Угол между CN и BH CN — биссектор ∠ACB, значит угол между CN и CA равен половине ∠C: ∠NCA = C/2. Так как BH ⟂ AC, угол между CN и BH равен 90° − ∠NCA = 90° − C/2.

По условию этот угол равен 65°: 90° − C/2 = 65° ⟹ C/2 = 25° ⟹ C = 50°.

3. Найдём A из (1) Подставляем C = 50° в (1): (90° − A) / (90° − 50°) = 1/4 (90° − A) / 40° = 1/4 90° − A = 10° A = 80°.

Ответ: ∠BAC = 80°. (Дополнительно можно отметить, что ∠B = 180° − 80° − 50° = 50°, если интересно проверить.)