Дано: окруж( O;R) AB, AC- касательные; BO=2 см; AO=4 см; Найти; угол BOC

Задача: дано окружность с центром O и радиусом OB = OC = R = 2 см; из точки A проведены касательные AB и AC к окружности; AO = 4 см. Найти угол ∠BOC.

Решение:

1. Так как AB и AC касательные, OB ⟂ AB и OC ⟂ AC. Треугольники OBA и OCA — прямоугольные в точках B и C. OA — гипотенуза в обоих треугольниках. По теореме Пифагора в треугольнике OAB имеем AB^2 = OA^2 − OB^2 = 4^2 − 2^2 = 16 − 4 = 12, следовательно AB = 2√3 см.

2. В треугольнике OAB применим закон косинусов к углу ∠AOB: AB^2 = OA^2 + OB^2 − 2·OA·OB·cos(∠AOB). 12 = 16 + 4 − 2·4·2·cos(∠AOB) ⇒ 12 = 20 − 16·cos(∠AOB) ⇒ cos(∠AOB) = 1/2. Отсюда ∠AOB = 60°.

3. Аналогично ∠AOC = 60°. Поскольку OA симметрично относительно OB и OC (AB = AC), OA является бисектрисой угла ∠BOC, поэтому: ∠BOC = ∠BOA + ∠AOC = 60° + 60° = 120°.

Дополнительная заметка: угол между касательными ∠BAC равен 180° − ∠BOC, т.е. 60°, что совместимо с AB = AC и полученным результатом.

Ответ: угол ∠BOC = 120°.