Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6,…
Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6, BC=CD=10, AD=16, АC=14. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность».
Ниже приведены теоретические факты, на которые можно опираться при решении задачи, а затем кратко продемонстрирую применение к данному примеру.
Ключевые теоретические факты (теоремы/правила)
Квадрилятерa ABCD описывается окружностью (он цикличен) тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна 180 градусам: ∠ABC + ∠ADC = 180°. Это характеристика цикличности.
Закон косинусов в треугольнике: для треугольника со сторонами a, b, c и углом напротив стороны c верно c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(C), следовательно cos(C) = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab).
Применение закона косинусов к нужным углам треугольников, образованных диагональю AC:
- В треугольнике ABC со сторонами AB, BC, AC: cos(∠ABC) = (AB^2 + BC^2 − AC^2) / (2 · AB · BC).
- В треугольнике ADC (или ACD) со сторонами AD, DC, AC: cos(∠ADC) = (AD^2 + DC^2 − AC^2) / (2 · AD · DC).
Теорема Птолемея (для циклических четырехугольников): если ABCD — циклический, то AC · BD = AB · CD + BC · AD. Это условие является равенствием, связывающим диагонали и стороны. Использовать можно, если известна обе диагонали.
Применение к задаче (пошаговый разбор) Даны AB = 6, BC = 10, CD = 10, AD = 16, AC = 14.
Найдем ∠ABC в треугольнике ABC: cos(∠ABC) = (AB^2 + BC^2 − AC^2) / (2 · AB · BC) = (6^2 + 10^2 − 14^2) / (2 · 6 · 10) = (36 + 100 − 196) / 120 = −60 / 120 = −1/2. Значит ∠ABC = arccos(−1/2) = 120°.
Найдем ∠ADC в треугольнике ADC: cos(∠ADC) = (AD^2 + CD^2 − AC^2) / (2 · AD · CD) = (16^2 + 10^2 − 14^2) / (2 · 16 · 10) = (256 + 100 − 196) / 320 = 160 / 320 = 1/2. Значит ∠ADC = arccos(1/2) = 60°.
Сумма противоположных углов: ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.
Так как сумма противоположных углов равна 180°, по теореме о цикличности точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Следовательно, вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Дополнительно (для полноты картины, если понадобится проверить через Птолемею):
- Если бы была известна другая диагональ BD, по Птолемею для циклического ABCD выполнялось бы AC · BD = AB · CD + BC · AD. Могли бы найти BD = (AB · CD + BC · AD) / AC = (6 · 10 + 10 · 16) / 14 = 220 / 14 = 110/7, что согласуется с гипотезой цикличности. Однако в данной задаче BD не требуется.
