Точка `K` `-` середина стороны `AB` квадрата `ABCD`, точка `L` расположена на диагонали `AC`, причём `AL:LC=3:1`. Найдите угол `KLD`.

Задача: в квадрате ABCD точка K — середина AB, точка L лежит на диагонали AC и AL:LC = 3:1. Найти угол ∠KLD.

Пошаговое решение (детальное):

1. Задаём координаты квадрата без потери общности.

• Пусть A = (0,0), B = (1,0), C = (1,1), D = (0,1).
• Тогда K — середина AB: K = ((0+1)/2, (0+0)/2) = (0.5, 0).
• Диагональ AC идёт по линии y = x.

2. Определяем точку L по отношению AL:LC = 3:1.

• Длина AC разделена в отношении 3:1, значит L находится на 3/4 пути от A к C.
• Координаты L: L = A + (3/4)(C − A) = (0,0) + (3/4)(1,1) = (0.75, 0.75).

3. Установим векторы LK и LD.

• LK = K − L = (0.5 − 0.75, 0 − 0.75) = (−0.25, −0.75).
• LD = D − L = (0 − 0.75, 1 − 0.75) = (−0.75, 0.25).

4. Проверим перпендикулярность LK и LD.

• Скалярное произведение: LK · LD = (−0.25)(−0.75) + (−0.75)(0.25) = 0.1875 − 0.1875 = 0.
• Значит угол между LK и LD равен 90°, то есть ∠KLD = 90°.

Дополнительная проверка через наклоны прямых:

• Наклон LK = (−0.75)/(−0.25) = 3.
• Наклон LD = (0.25)/(−0.75) = −1/3.
• Произведение наклонов 3 · (−1/3) = −1, следовательно прямые LK и LD перпендикулярны.

Ответ: ∠KLD = 90°.