Точка `K` `-` середина стороны `AB` квадрата `ABCD`, точка `L` расположена на диагонали `AC`, причём `AL:LC=3:1`. Найдите угол `KLD`.

Задача: в квадрате ABCD точка K — середина AB, точка L лежит на диагонали AC и AL:LC = 3:1. Найти угол ∠KLD. Пошаговое решение (детальное): 1) Задаём координаты квадрата без потери общности. - Пусть A = (0,0), B = (1,0), C = (1,1), D = (0,1). - Тогда K — середина AB: K = ((0+1)/2, (0+0)/2) = (0.5, 0). - Диагональ AC идёт по линии y = x. 2) Определяем точку L по отношению AL:LC = 3:1. - Длина AC разделена в отношении 3:1, значит L находится на 3/4 пути от A к C. - Координаты L: L = A + (3/4)(C − A) = (0,0) + (3/4)(1,1) = (0.75, 0.75). 3) Установим векторы LK и LD. - LK = K − L = (0.5 − 0.75, 0 − 0.75) = (−0.25, −0.75). - LD = D − L = (0 − 0.75, 1 − 0.75) = (−0.75, 0.25). 4) Проверим перпендикулярность LK и LD. - Скалярное произведение: LK · LD = (−0.25)(−0.75) + (−0.75)(0.25) = 0.1875 − 0.1875 = 0. - Значит угол между LK и LD равен 90°, то есть ∠KLD = 90°. Дополнительная проверка через наклоны прямых: - Наклон LK = (−0.75)/(−0.25) = 3. - Наклон LD = (0.25)/(−0.75) = −1/3. - Произведение наклонов 3 · (−1/3) = −1, следовательно прямые LK и LD перпендикулярны. Ответ: ∠KLD = 90°.