В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 12 см, а высота SO равна V13 см. Найдите площадь боковой, площадь полной поверхности пирамиды и объём пирамиды..

Задача: правильная треугольная пирамида SABC, основание ABC — равносторонний треугольник со стороной a = 12 см, высота SO = √13 см. Найдите площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объём.

Пояснение и решение по шагам:

1. Площадь основания

• Основание ABC — равносторонний треугольник со стороной a = 12.
• Площадь равностороннего треугольника: S_basis = (√3/4) a^2.
• S_basis = (√3/4) · 12^2 = (√3/4) · 144 = 36√3 см^2.

2. Гиперплоскость высоты

• Высота пирамиды h = SO = √13 см.
• Точка O — центр основания, проекция вершины S на плоскость основания.

3. Радиус вписанной окружности основания и высота боковой стороны

• В правильной треугольной пирамиде линии, соединяющие apex S с серединой стороны AB, образуют боковую грань SAB.
• Расстояние от центра основания O до стороны AB равно апофемой равностороннего треугольника: r = a√3/6. Здесь a = 12, поэтому r = 12√3/6 = 2√3 см.
• Латеральная высота l (высота боковой треугольной грани SAB, т. е. высота в этой грани, опущенная на сторону AB) образует с высотой пирамиды прямой угол в точке M – середина AB. Следовательно, по правой трапеции SOM и расстоянию OM = r, имеем: l^2 = h^2 + r^2 = (√13)^2 + (2√3)^2 = 13 + 12 = 25. Значит l = 5 см.

4. Площадь боковой поверхности

• Латеральная грань SAB имеет основание AB = a = 12 и высоту l = 5.
• Площадь одной боковой грани: S_side = (1/2) · a · l = (1/2) · 12 · 5 = 30 см^2.
• Всего боковых граней три, поэтому площадь боковой поверхности: S_lateral = 3 · 30 = 90 см^2.

5. Площадь полной поверхности

• S_total = площадь основания + площадь боковой поверхности S_total = 36√3 + 90 см^2.

6. Объём пирамиды

• Объём: V = (1/3) · S_basis · h. V = (1/3) · (36√3) · (√13) = 12√39 см^3.
• Приближённо: √39 ≈ 6.244998, значит V ≈ 12 · 6.244998 ≈ 74.94 см^3.

Итоговые ответы:

• Площадь боковой поверхности: 90 см^2.
• Площадь полной поверхности: 90 + 36√3 ≈ 152.35 см^2.
• Объём пирамиды: 12√39 см^3 ≈ 74.94 см^3.