Задумали трёхзначное число, которое делится на 32. Затем цифры десятков и единиц поменяли местами и полученное число вычли из задуманного. Получили число 45. Какое число было…

Задача решается по шагам.

1. Обозначим задуманное трёхзначное число как N и его цифры: N = 100a + 10b + c, где a ∈ {1,...,9}, b, c ∈ {0,...,9}.

2. Поменяли местами десятки и единицы и получили число M = 100a + 10c + b. По условию N − M = 45.

   N − M = (100a + 10b + c) − (100a + 10c + b) = 9(b − c) = 45 => b − c = 5, следовательно b = c + 5.

   Так как b ≤ 9, получаем c ∈ {0,1,2,3,4}. Соответственно b ∈ {5,6,7,8,9}.

3. Теперь учтём, что N делится на 32. В остатке по модулю 32: 100 ≡ 4 (mod 32), значит N ≡ 4a + 10b + c (mod 32).

   Подставим b = c + 5: N ≡ 4a + 10(c + 5) + c = 4a + 11c + 50 ≡ 4a + 11c + 18 (mod 32). Требуется 4a + 11c + 18 ≡ 0 (mod 32).

4. Пробуем c = 0..4 и находим подходящее a:

   • c = 0: 4a + 18 ≡ 0 (mod 32) — неверно, 4a кратно 4, 18 не кратно 4.
   • c = 1: 4a + 29 ≡ 0 (mod 32) — неверно, 4a кратно 4, 29 не кратно 4.
   • c = 2: 4a + 40 ≡ 0 (mod 32) → 4a ≡ 24 (mod 32) → a ≡ 6 (mod 8). В диапазоне a ∈ {1,...,9} остаётся a = 6. Тогда b = c + 5 = 7. N = 100·6 + 10·7 + 2 = 672.
   • c = 3: 4a + 51 ≡ 0 (mod 32) → 4a ≡ 13 (mod 32) — невозможно.
   • c = 4: 4a + 30 ≡ 0 (mod 32) → 4a ≡ 2 (mod 32) — невозможно.

5. Единственное решение: N = 672. Проверка:

   • N делится на 32: 672 ÷ 32 = 21.
   • После обмена 10-х и 1-х цифр получаем M = 627, и 672 − 627 = 45.

Ответ: задуманное число было 672.