Дано арифметическое выражение 5xyА18 + 18x7y. Определите, сколько различных значений может принимать выражение при всех возможных x и y.

Решение в разборе для целых x, y (обычно такие задачи берутся именно по целым числам).

Задача: E = 5 x y^18 + 18 x^7 y. Determine how many distinct values E может принимать при всех возможных x и y.

1. Замечание по существованию бесконечного множества значений

• Чтобы показать, что значений бесконечно много, достаточно найти один способ подобрать бесконечную последовательность пар (x, y), для которых E принимает разные значения.

2. Упрощение-подход

• Зафиксируем y = 1. Тогда выражение становится функции по переменной x: E(x) = 5x·1^18 + 18 x^7·1 = 5x + 18 x^7.
• Рассмотрим разности последовательности значений: E(x+1) − E(x) = [5(x+1) + 18 (x+1)^7] − [5x + 18 x^7] = 5 + 18[(x+1)^7 − x^7].
• Для любого x ≥ 0 выражение (x+1)^7 − x^7 > 0, значит E(x+1) − E(x) > 0. Следовательно E(x) строго возрастает на совокупности неотрицательных x.
• Значит для x = 0, 1, 2, ... значения E образуют бесконечно много различных чисел (поскольку функция возрастает и не повторяет значения).

3. Вывод

• Так как можно выбрать бесконечное множество значений x (например, все неотрицательные целые) и при этом получать возрастающую последовательность значений E, множество различных значений выражения бесконечно велико.
• Следовательно, количество различных значений выражения 5 x y^18 + 18 x^7 y при всех возможных целых x и y равно бесконечности (не ограничено).

Пример первых значений (для иллюстрации, не обязательно):

• x = 0, y = 1 → E = 0
• x = 1, y = 1 → E = 5 + 18 = 23
• x = 2, y = 1 → E = 10 + 18·128 = 10 + 2304 = 2314 и так далее. Очевидно, значения продолжают расти и не повторяются.