Дано арифметическое выражение 5xyА18 + 18x7y. Определите, сколько различных значений может принимать выражение при всех возможных x и y.

Решение в разборе для целых x, y (обычно такие задачи берутся именно по целым числам). Задача: E = 5 x y^18 + 18 x^7 y. Determine how many distinct values E может принимать при всех возможных x и y. 1) Замечание по существованию бесконечного множества значений - Чтобы показать, что значений бесконечно много, достаточно найти один способ подобрать бесконечную последовательность пар (x, y), для которых E принимает разные значения. 2) Упрощение-подход - Зафиксируем y = 1. Тогда выражение становится функции по переменной x: E(x) = 5x·1^18 + 18 x^7·1 = 5x + 18 x^7. - Рассмотрим разности последовательности значений: E(x+1) − E(x) = [5(x+1) + 18 (x+1)^7] − [5x + 18 x^7] = 5 + 18[(x+1)^7 − x^7]. - Для любого x ≥ 0 выражение (x+1)^7 − x^7 > 0, значит E(x+1) − E(x) > 0. Следовательно E(x) строго возрастает на совокупности неотрицательных x. - Значит для x = 0, 1, 2, ... значения E образуют бесконечно много различных чисел (поскольку функция возрастает и не повторяет значения). 3) Вывод - Так как можно выбрать бесконечное множество значений x (например, все неотрицательные целые) и при этом получать возрастающую последовательность значений E, множество различных значений выражения бесконечно велико. - Следовательно, количество различных значений выражения 5 x y^18 + 18 x^7 y при всех возможных целых x и y равно бесконечности (не ограничено). Пример первых значений (для иллюстрации, не обязательно): - x = 0, y = 1 → E = 0 - x = 1, y = 1 → E = 5 + 18 = 23 - x = 2, y = 1 → E = 10 + 18·128 = 10 + 2304 = 2314 и так далее. Очевидно, значения продолжают расти и не повторяются.