(3x+8)²>3x(x+16)

Разберём неравенство пошагово.

Задача: (3x+8)² > 3x(x+16)

1. Раскрываем скобки:

• (3x+8)² = 9x² + 48x + 64
• 3x(x+16) = 3x² + 48x

2. Переносим правую часть в левую, чтобы получить квадратное неравенство одной переменной: (9x² + 48x + 64) - (3x² + 48x) > 0 Упрощаем: 6x² + 64 > 0

3. Упростим ещё больше: 6x² + 64 = 2(3x² + 32) Поскольку x² ≥ 0 для любого реального x, то 3x² ≥ 0, значит 3x² + 32 ≥ 32 > 0. Следовательно, 6x² + 64 > 0 для всех x.

4. Вывод: Неравенство истинно для всех вещественных x.

Альтернативно можно заметить через дискриминант для выражения 6x²+64:

• a = 6 > 0, c = 64 > 0, b = 0, дискриминант Δ = b² - 4ac = 0 - 4·6·64 = -1536 < 0. Это означает, что выражение 6x²+64 всегда положительно, и решение задачи — все вещественные числа.

Ответ: все real x (x ∈ (-∞, +∞)).