Е и F являются серединами сторон АВ и CD квадрата с центром О. Из квадрата случайным образом выбирается одна точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри…

Решение (пошагово):

1. Задаем координаты квадрата

• Пусть квадрат ABCD имеет стороны длиной 1 и вершины A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1).
• Центр квадрата O = (0.5, 0.5).
• Средняя AB: E = ((0+1)/2, (0+0)/2) = (0.5, 0).
• Средняя CD: F = ((1+0)/2, (1+1)/2) = (0.5, 1).

2. Трапеция AOFD

• Вертикальные стороны AD и OF параллельны и являются основаниями трапеции. AD идёт по x = 0 от y = 0 до y = 1, длина 1. OF идёт по x = 0.5 от y = 0.5 до y = 1, длина 0.5.
• Трапеция AOFD имеет вершины A(0,0), O(0.5,0.5), F(0.5,1), D(0,1).

3. Площадь трапеции AOFD

• Можно посчитать как площадь трапеции с основаниями AD и OF и высотой равной расстоянию между их линиями. Длины оснований: AD = 1, OF = 0.5. Расстояние между ними (ширина) = 0.5. Площадь = (AD + OF) / 2 × высота = (1 + 0.5) / 2 × 0.5 = 1.5/2 × 0.5 = 0.75 × 0.5 = 0.375 = 3/8.

(Также можно проверить по формуле Шеолея для векторного контура AOFD и получить тот же результат.)

4. Вероятность

• Площадь всего квадрата = 1.
• Вероятность выбрать точку внутри трапеции = площадь трапеции / площадь квадрата = (3/8) / 1 = 3/8.

Ответ: 3/8.

Дополнительный комментарий (обобщение): если бок квадрата равен s, то площадь трапеции AOFD будет (3/8) s^2, и вероятность остаётся 3/8, так как деление площадей сохраняет отношение.