Сделай задачу на логику по наглядно геометрии

Задача (наглядная геометрия, логика): В квадрате ABCD со стороной a (координаты ниже) точки E и F — середины AB и BC соответственно. Линии CE и DF пересекаются в точке P. Докажите, что угол CPD прямой, то есть PC ⟂ PD. Условия в координатах: - Пусть A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a). - E — середина AB: E(a/2, 0). - F — середина BC: F(a, a/2). Цель: доказать, что в точке P, где пересекаются CE и DF, вектор PC ⟂ PD. Пошаговое решение: 1) Найдём уравнения прямых CE и DF. - Прямая CE идёт через C(a,a) и E(a/2, 0). У неё угловой коэффициент m_CE = (0 − a) / (a/2 − a) = −a / (−a/2) = 2. Поэтому уравнение CE: y − a = 2(x − a) ⇒ y = 2x − a. - Прямая DF идёт через D(0,a) и F(a, a/2). У неё угловой коэффициент m_DF = (a/2 − a) / (a − 0) = (−a/2) / a = −1/2. Поэтому уравнение DF: y − a = −1/2(x − 0) ⇒ y = a − x/2. 2) Найдём точку пересечения P. Равняем y из двух уравнений: 2x − a = a − x/2 2x + x/2 = 2a (5/2)x = 2a → x = 4a/5. Подставим в одно из уравнений: y = 2x − a = 2·(4a/5) − a = 8a/5 − a = 3a/5. Значит P = (4a/5, 3a/5). 3) Проверим, что PC ⟂ PD. Векторы: - PC = C − P = (a − 4a/5, a − 3a/5) = (a/5, 2a/5). - PD = D − P = (0 − 4a/5, a − 3a/5) = (−4a/5, 2a/5). Скалярное произведение: PC · PD = (a/5)(−4a/5) + (2a/5)(2a/5) = −4a^2/25 + 4a^2/25 = 0. Значит PC ⟂ PD, т.е. угол CPD прямой. 4) Вывод. Учитывая, что задача конфигурирована с любым размером стороны a, полученное решение обобщается: для любого квадрата сторонами a точка пересечения CE и DF имеет координаты P = (4a/5, 3a/5), и PC ⟂ PD. Это означает, что точка P лежит на окружности с диаметром CD (и угол CPD равен 90°). Дополнительная заметка (логика решения): - Мы удобно выбрали координаты, чтобы стороны квадрата совпадали с осями координат и середины были простыми числами. - Прямые CE и DF вышли с вычисляемыми коэффициентами m_CE = 2 и m_DF = −1/2, что наглядно показывает их взаимную перпендикулярность (их произведение угловых коэффициентов равно −1). Это удобный способ проверить корректность пересечения и дальнейшее направление решения. - Доказательство через скалярное произведение векторов PC и PD даёт ясную геометрическую интерпретацию: в точке P линии, проведённые к вершинам C и D, образуют прямой угол. Если хочешь, могу предложить ещё аналогичную задачу-разбор на подобной конфигурации (с другой пары середины или другой фигуры) или рассказать, как можно обобщать такие результаты для произвольных квадратов и прямоугольников.