2 стороны треугольника равны 5 и 7. Найдите длину третьей стороны, если параллельна есть средняя линия в треугольнике касается вписанного в него окружности.
Задача: две стороны равны 5 и 7. Найдём третью сторону a, если параллельная ей средняя линия мечет касаться вписанной окружности.
Решение
Обозначим стороны: a — третья сторона (против вершины A), b = 5, c = 7. Средняя линия, параллельная стороне a, имеет длину a/2.
Пусть h_a — высота к стороне a. Тогда площадь треугольника Δ = (1/2) a h_a.
Радиус вписанной окружности r = Δ / s, где s — полупериметр: s = (a + b + c)/2.
Расстояние между параллельной средней линией MN и стороной BC (то есть между средней линией и основанием) равно h_a/2. Расстояние от центра вписанной окружности I до BC равно r. Так как MN параллельна BC, расстояние от I до MN равно h_a/2 – r. Условие задачи: MN касается вписанного круга, значит это расстояние должно быть равно r. Получаем h_a/2 − r = r ⇒ h_a = 4r.
Выразим через Δ и s: h_a = 2Δ / a, r = Δ / s. Отсюда 2Δ / a = 4 (Δ / s) ⇒ 2 / a = 4 / s ⇒ s = 2a.
Так как s = (a + b + c)/2, получаем (a + b + c)/2 = 2a ⇒ a + b + c = 4a ⇒ b + c = 3a ⇒ a = (b + c) / 3.
Подставим b = 5, c = 7: a = (5 + 7) / 3 = 12 / 3 = 4.
Ответ: третья сторона равна 4. Проверка (для наглядности): с a = 4, b = 5, c = 7 получаем s = 8, Δ = sqrt(8·4·3·1) = 4√6, r = Δ / s = √6 / 2, h_a = 2Δ / a = 2·4√6 / 4 = 2√6, и h_a/2 − r = (√6) − (√6/2) = √6/2 = r, т.е. средняя линия действительно касается вписанного круга.
