В июле 2030 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 4 года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25 % 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 307   200 307200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Разберём задачу пошагово. 1) Обозначения - Пусть L — сумма кредита (на неё должны будем выплачивать в течение 4 лет). - Пусть P — размер каждого годового платежа (их будет 4 штуки, так как долг гасится четырьмя равными платежами). - Пусть Ek — остаток долга после k-го платежа в конце июня соответствующего года (до следующего января он не меняется). Условия задачи дают следующую схему: - каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года: после января долг становится 1.25 раз больше. - в период с февраля по июнь каждого года выплачивается одна часть долга (у нас она равна P). Если взять за начальный год конец 2030 года до января 2031: E0 = L. После первого января 2031 долг увеличится до 1.25 L, затем в течение первого года выплачиваем P и остаток к концу года запишем как E1: E1 = 1.25 L − P. Далее каждый год повторяется по той же схеме: E2 = 1.25 E1 − P E3 = 1.25 E2 − P E4 = 1.25 E3 − P К моменту полного погашения после четырёх выплат остаток должен стать нулём: E4 = 0. 2) Выразим связь между L и P Обобщим рекуррентное соотношение: E1 = a L − P E2 = a^2 L − a P − P E3 = a^3 L − a^2 P − a P − P E4 = a^4 L − (a^3 + a^2 + a + 1) P, где a = 1.25. Условие погашения: E4 = 0. Значит: a^4 L = (a^3 + a^2 + a + 1) P. А ещё сумма всех выплат равна L + 307200 (дано: общая сумма платежей на 307200 больше суммы кредита), и она равна 4P. То: (1) 4P = L + 307200 (2) P = (a^4 / (a^3 + a^2 + a + 1)) L. Подставим a = 1.25 = 5/4. - a^2 = 25/16, a^3 = 125/64, a^4 = 625/256. - S = a^3 + a^2 + a + 1 = 125/64 + 25/16 + 5/4 + 1 = 369/64. - П_ratio = a^4 / S = (625/256) / (369/64) = 625/1476. Итак: P = (625/1476) L. Из (1): P = (L + 307200)/4. Значит: (L + 307200)/4 = (625/1476) L. Упростим: L + 307200 = (4 * 625 / 1476) L = (2500/1476) L = (625/369) L. Тогда 307200 = (625/369 − 1) L = (256/369) L. Откуда L = 307200 × 369 / 256 = 442800. 3) Найдём P и проверим P = (L + 307200)/4 = (442800 + 307200)/4 = 750000/4 = 187500. Проверка последовательности: - E1 = 1.25 × 442800 − 187500 = 553500 − 187500 = 366000 - E2 = 1.25 × 366000 − 187500 = 457500 − 187500 = 270000 - E3 = 1.25 × 270000 − 187500 = 337500 − 187500 = 150000 - E4 = 1.25 × 150000 − 187500 = 187500 − 187500 = 0 4) Ответ - Общая сумма платежей за весь срок: 4P = 4 × 187500 = 750000 рублей. - Каждый годовый платеж: 187500 рублей. - Сумма кредита: L = 442800 рублей (для проверки: 750000 − 307200 = 442800). Ответ: 750000 рублей заплатит банк суммарно (ежегодно по 187500 рублей).